I. Legyen $u$, $v$ egy az első követelménynek megfelelő, relatív prím számpár, vagyis $u+v=420$. Ekkor $u$ is, $v$ is relatív prím $420$-hoz, mert ha pl. $u$-nak és $420$-nak volna $1$-nél nagyobb közös osztójuk, az $420-u$-nak, azaz $v$-nek is osztója volna.
Két olyan felbontást, mely a tagok felcserélésével egymásba megy át, nem tekintünk különbözőnek, ezért előírhatjuk, hogy $u\le v$, azaz $u\le 210$ legyen.
Ezek szerint a keresett felbontások száma annyi, ahány a $420$-hoz relatív prím szám van a $210$-nél nem nagyobb természetes számok között. A továbbiakban természetes szám helyett röviden csak számot írunk. $420$ prímtényezői $2$, $3$, $5$ és $7$, hozzá azok a számok relatív prímek, amelyek e négy prímszám egyikének sem többszörösei. Ezért $u$ megfelelő értékeit úgy kapjuk, hogy felírjuk a számokat $210$-ig, majd $2$, $3$, $5$ és $7$ többszöröseit áthúzzuk, kirostáljuk. Lesznek számok, amelyeket így többször is áthúzunk, pl. a $10$ kétszer, a $2$ és az $5$ többszöröseként, a $210$ pedig négyszer, mindegyik prímszámunk miatt.
Szorítkozzunk egyelőre $2$ és $3$ többszöröseinek áthúzására. Ilyen szám $210/2=105$, ill. $210/3=70$ van. A $6$ többszöröseire azonban $2-2$ áthúzás esik, számuk $210/6=35$, ezek második áthúzásakor már nem új számot hagyunk el, így az eddig elhagyott számok száma $105+70-35=140$, a $210$-ből $70$ szám marad.
$5$-nek $210$-ig terjedő többszöröseit úgy kapjuk, hogy az $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\mathrm{,}42$ számokat szorozzuk $5$-tel. Közülük nyilvánvalóan azokat találjuk áthúzatlanul, amelyek relatív prímek $2$-höz is, $3$-hoz is. Számuk az előző meggondolás mintájára $42-\left(21+14-7\right)=14$, ennyi első ízbeni áthúzást végzünk, tehát már csak $56$ szám marad.
Hasonlóan $7$ többszöröseinek áthúzása során annyi számot húzunk át első ízben, ahány a $2$, $3$ és $5$ számok mindegyikéhez relatív prím szám van $7$-nek $1$-től $210$-ig terjedő többszörösei között. Ezeket $7$-nek az $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}30$ számokkal való szorzása útján kapjuk, így eddigi két meggondolásunkat kell ismételnünk $210$ helyén $30$-cal, majd $42$ helyén $6$-tal. A maradó számok száma előbb $30-\left(15+10-5\right)=10$, az $5$ miatt $6-\left(3+2-1\right)=2$ számot mellőzve pedig $8$.
Így $u$ számára $56-8=48$ érték marad vissza, ennyi kéttagú felbontása van $420$-nak egymáshoz relatív prím összeadandókra.
II. A második követelménynek megfelelő $u$, $v$ értékpárokat a fent előállítottakból kapjuk, elhagyva azokat, amelyeknek legalább egyik tagja nem törzsszám. Ilyen elsősorban az $1+419$ felbontás, mert az $1$ nem törzsszám. A további elhagyandók törzsszám osztói különböznek $2$-től, $3$-tól, $5$-től és $7$-től, másrészt legkisebb törzstényezőjük kisebb $420$ négyzetgyökének egész részénél, $20$-nál, tehát $11$, $13$, $17$ és $19$ valamelyike, végül csak két törzsszám összeszorzásával állhatnak elő, mert már ${11}^3>420$. Ezek a következők: