Kezdőlap


Feladat:	1378. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Missura Éva
Füzet:	1965/november, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Valós együtthatós polinomok, Interpolációs polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 1378. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Az $x$ -re és a polinomra előírt értékpárok alapján az együtthatókra az alábbi egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} a + b + c & = 1, & (1) \\ 4 a + 2 b + c & = 1 / 2, & (2) \\ 9 a + 3 b + c & = 1 / 3. & (3) \end{matrix}

Vonjuk ki (2)-t (1)-ből, majd (3)-ból, így

c

mindkét esetben kiesik; az adódó egyenletek összeadásával pedig

b

esik ki:

\begin{matrix} - 3 a - b & = 1 / 2, \\ 5 a + b & = - 1 / 6, & (4) \\ 2 a & = 1 / 3, \end{matrix}

így

a = 1 / 6

, ezért (4)-ből

b = - 1

, végül (1)-ből

c = 11 / 6

, tehát a keresett polinom

\begin{matrix} \frac{1}{6} x^{2} - x + \frac{11}{6} . \end{matrix}

II. Tegyük fel, hogy

x

olyan szám, amelyet helyettesítve polinomunk értéke

1 / x

, vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{6} x^{2} - x + \frac{11}{6} = \frac{1}{x} . \end{matrix}

(5)

Ekkor

x

nem lehet

0

. az egyenletet

6 x

-szel szorozva

\begin{matrix} x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0. \end{matrix}

Harmadfokú egyenletnek legfeljebb

3

gyöke lehet^{$^{*}$}. Tudjuk, hogy

x = 1

x = 2

és

x = 3

teljesíti a feltételt, tehát gyök, ennélfogva több gyök nincs, nincs több olyan szám, amelyre fennáll (5). Ezt kellett bizonyítanunk.

Missura Éva (Eger, Gárdonyi G. g. II. o. t.)

II. megoldás a feladat első részére. A keresett polinomot három másodfokú polinom összegeként állítjuk elő. Mindegyikükre azt írjuk elő, hogy az adott helyek egyikén ‐ rendre az első, a második, a harmadik helyen ‐ az ott megadott értéket vegye fel, a másik két helyen pedig

0

értéket. Így összegük valóban mind a három helyen az ott előírt érték lesz.
Minden olyan másodfokú polinom, amely az

x = 2

és

x = 3

helyeken a

0

-értéket veszi fel,

a_{1} (x - 2) (x - 3)

alakban írható, ahol

a_{1}

egy

0

-tól különböző állandó. E polinom értéke

x = 1

esetén

2 a_{1}

, és ez

a_{1} = 1 / 2

esetén egyenlő az itt előírt

1

értékkel.
Hasonlóan a második és a harmadik polinom

\begin{matrix} a_{2} (x - 1) (x - 3), & x = 2esetén & - a_{2} = 1 / 2, & haa_{2} = - 1 / 2, \\ a_{3} (x - 1) (x - 2), & x = 3esetén & 2 a_{3} = 1 / 3, & haa_{3} = 1 / 6. \end{matrix}

Így a keresett polinom, kifejtés és összevonás után

\begin{matrix} \frac{1}{2} (x - 2) (x - 3) - \frac{1}{2} (x - 1) (x - 3) + \frac{1}{6} (x - 1) (x - 2) = \\ = \frac{1}{6} x^{2} - x + \frac{11}{6} . \end{matrix}

^{$^{*}$}Lásd: Hódi E.‐Szász G.‐Tolnai J.: Matematika az ált. gimn. IV. o. számára, 11. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp., 1962, 222. o.