Feladat: 1377. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Bárány I. ,  Baranyai Zs. ,  Deák J. ,  Herényi István ,  Malina J. ,  Márki L. ,  Surányi L. 
Füzet: 1966/február, 58 - 59. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Maradékos osztás, Természetes számok, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/március: 1377. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feri közlése helyes volt. Legyenek a keresett négyjegyű szám egymás utáni számjegyei A, B, C, D, ahol A≠0, viszont a többi jegy bármelyike lehet 0 is. A követelmény szerint:

(A⋅103+B⋅102+C⋅10+D)-(D⋅103+C⋅102+B⋅10+A)=999(A-D)+90(B-C)=n3,(1)


ahol n egész szám, tehát lehet 0 és negatív szám is.
Mégis elég lesz egyelőre pozitív n-ekre szorítkoznunk. Ugyanis n=0 esetén ABCD¯=DCBA¯, a szám önmagának a fordítottja, 90 db ABBA¯ alakú érdektelen megoldás adódik1 (ugyanis az A és B által felvehető értékek száma 9, ill. 10 ). Továbbá előre tudjuk, hogy ABCD¯-vel együtt a DCBA¯ szám is megfelel, hacsak D>0, ekkor a különbség -n3. Az ilyen megoldások számát amazokéból könnyen megállapíthatjuk.2
A bal oldal osztható 9-cel, így a jobb oldal is, ekkor pedig n osztható 3-mal, n=3k, ahol k egész (ugyanis
(3k±1)3=27k3±27k2+9k±1=9(3k3±3k2+k)±1,
ami 9-cel osztva nem 0-t ad maradékul). Ezt (1)-be beírva és 27-tel osztva
37(A-D)+10⋅B-C3=k3,(2)
eszerint B-C értéke csak 0, ±3, ±6 és ±9 lehet, vagyis a bal oldal második tagja 0, ±10, ±20, vagy ±30. Másrészt A-D értéke a 0, 1, 2, ..., 9 számok valamelyike, így a bal oldal nem nagyobb 9⋅37+30=373-nál. Az ennél nem nagyobb pozitív köbszámok:
1,8,27,64,125,216,343,
és 37 szóba jövő többszörösei:
37,74,111,148,185,222,259,296,333.
Innen könnyen kiválaszthatjuk azokat a számpárokat, amelyek eltérése 0, vagy 10, vagy 20, vagy 30:
I.37-327=10,ekkorA-D=1,C-B=3,k=3,n=9;II.74-364=10,ekkorA-D=2,C-B=3;III.333-343=-10,ekkorA-D=9,B-C=3.

Az I. számpár esetében A az 1, 2, ..., 9 értékeket veheti fel, hogy D≧0 teljesüljön, hasonlóan C a 3, 4, ..., 9 értékeket, így B≧0, e két jegy megválasztása egymástól független, ezért az adódó megoldások száma 9⋅7=63. Hasonlóan a II. számpárból 8⋅7=56, a III.-ból  1⋅7=7 megoldást kapunk, ezek szerint n>0 esetén a megoldások száma 63+56+7=126.
A negatív n-ekre vezető megoldásokat úgy kapjuk, hogy (2) mindkét oldalát -1-gyel szorozzuk. Minthogy azonban nem lehet D=0, azért D részére az I.‐ III. számpárok mindegyikének esetében 1-gyel kevesebb érték felel meg, a megoldások száma
8⋅7+7⋅7+0⋅7=105.
Így pedig az olyan négyjegyű számok száma, amelyekből a fordítottjukat kivonva 0-tól különböző egész szám köbét kapjuk, 231; Ferinek igaza volt.
A Gábor által észrevett megoldás a II. számpárból adódik ki.
 
Herényi István (Budapest, I. István g. III. o. t.)
1Tartsuk Ferit komolynak, hogy nem dicsekszik semmitmondó megoldásokkal.

2Itt viszont megengedjük Ferinek, hogy nagyobb számot mondjon. Miért nem természetes számot írt elő Gábor! Különben is egy szám felírásakor nem mindjárt arra gondol az ember, hogy nagyobb-e a szám a fordítottjánál.