Kezdőlap


Feladat:	1373. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Balla Katalin , Balogh K. , Bárány I. , Baróthy B. , Beck Mária , Cserháti Zsuzsa , Deák J. , Dévaj Ágnes , Dömötör P. , Eff L. , Elekes Gy. , Forgács P. , Herényi I. , Herszényi B. , Hoffer Anna , Juhász F. , Karosi Gy. , Kiss A. , Kósa M. , Külvári I. , Majtényi G. , Márki L. , Molnár Ágnes , Nagy Klára , Nagy Zsuzsa , Palotás Á. , Pintér J. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Staub Klára , Steiner Gy. , Surányi L. , Sükösd Cs. , Szalay M. , Szász A. , Székely G. , Tényi G. , Tongori Éva , Vadász I. , Verdes S. , Vladár F.
Füzet:	1966/február, 56 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Kör egyenlete, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 1373. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az (1) egyenletet $0$ -ra redukálva a bal oldalt szorzattá alakítjuk:

\begin{matrix} {(2 x - y)}^{2} - 1 = (2 x - y - 1) (2 x - y + 1) = 0. \end{matrix}

Eszerint az egyenletet kielégíti minden olyan

x

y

számpár, amelyre teljesül a

\begin{matrix} 2 x - y - 1 = 0 vagy a & (1a) \\ 2 x - y + 1 = 0 & (1b) \end{matrix}

egyenlőség (és más

x

y

számpár nem elégíti ki). Ezekre vagy

y = 2 x - 1

vagy

y = 2 x + 1

, vagyis a megfelelő pontok két párhuzamos egyenes pontjai. (1) ennek az egyenes párnak az egyenlete (1. ábra).

1. ábra

II. A (2) egyenlet bal oldalának tagjai ‐ az utolsó előtti tag kivételével ‐ megegyeznek

{(4 x^{2} - y^{2} - 1)}^{2}

polinom alakjának tagjaival. A mondott taghoz és a jobb oldalhoz

4 y^{2}

-et adva a bal oldalon a kívánt teljes négyzet áll.

0

-ra redukálás után szorzattá alakítással

\begin{matrix} {(4 x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} - 4 y^{2} = (4 x^{2} - y^{2} - 1 - 2 y) (4 x^{2} - y^{2} - 1 + 2 y) = 0, \end{matrix}

eszerint (2)-t minden olyan

x

y

számpár kielégíti, amelyekre a

\begin{matrix} 4 x^{2} - y^{2} - 1 - 2 y = 4 x^{2} - {(y + 1)}^{2} = & (2a) \\ (2 x - y - 1) (2 x + y + 1) = 0, \\ 4 x^{2} - y^{2} - 1 + 2 y = 4 x^{2} - {(y - 1)}^{2} = & (2b) \\ (2 x - y + 1) (2 x + y - 1) = 0, \end{matrix}

egyenlőségek közül legalább az egyik teljesül, és más

x

y

számpár nem elégíti ki.
Az I. esethez hasonlóan látható, hogy (2a)-t az

\begin{matrix} y = 2 x - 1, y = - 2 x - 1 \end{matrix}

egyenespár pontjainak koordinátái elégítik ki, (2b)-t pedig a következő egyenespáré (2. ábra)

\begin{matrix} y = 2 x + 1, y = - 2 x + 1. \end{matrix}

Ezek szerint (2) a 2. ábra

4

egyeneséből álló vonalrendszer egyenlete.

2. ábra

III. A (3) egyenlet esetében nyilvánvalóan

y \neq 0

y > 0

esetén (3) így alakul:

y^{2} = 4

, ami a feltevés miatt az

y = 2

egyenes pontjaira, és csak azokra teljesül.

3. ábra

y < 0

esetén pedig

| y | = - y

, és így

x^{2} = 4

; mindez csak az

x = 2

és

x = - 2

egyeneseknek az

X

-tengely alatti félegyeneseire teljesül, kezdőpontjuk nem tartozik hozzá az alakzathoz. Így (3) a 3. ábrán látható vonalrendszer egyenlete.

IV. A (4) egyenlet csak pozitív

x

-ekre teljesülhet, mert

x = 0

esetén a bal oldalnak nincs értelme,

x < 0

esetén pedig a bal oldal

0

, nem egyenlő a jobb oldallal.

x > 0

esetén az egyenlet

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 4, \end{matrix}

eszerint csak az origó körüli

2

egységnyi sugarú körből az

Y

tengelytől jobbra eső félkör pontjai felelnek meg a végpontok nélkül (4. ábra).

4. ábra

Beck Mária (Székesfehérvár, Teleki B. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Az 1. ábra egyenesei a 2. ábrán is szerepelnek, de az egyenes négyesnek nem ugyanabban a párjában. Eszerint a 2. ábra további két egyeneséből álló pár egyenlete

{(2 x + y)}^{2} = 1

, a vonalnégyes egyenlete pedig így is írható:

\begin{matrix} [{(2 x - y)}^{2} - 1] \cdot [{(2 x + y)}^{2} - 1] = 0. \end{matrix}