A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az adott kifejezésben osztási jel szerepel. Minden osztás eredményét, ha egy újabb osztás osztója vagy osztandójaként lép fel, zárójelbe tesszük. Az utoljára végzett osztás eredményét már fölösleges zárójelbe tenni, így a zárójel-párok (a kezdő és végző zárójelek) száma . Eszerint legkisebb szóba jövő értéke . esetén sorrend lehetséges:
A sorrend rövid leírása céljára az osztásjelekhez hozzárendeltük a közvetlenül előtte álló indexét. esetén -szor ennyi, azaz sorrend gondolható, bármelyik osztást véve utolsónak, a maradó osztásra sorrend áll fenn. Azonban az , , és , , sorrendek közt nincs különbség, hiszen ha két hányados hányadosát képezzük, az osztóban és osztandóban végzendő osztás sorrendjére a zárójelek nem adnak semmilyen előírást. Így a zárójel pár különböző elhelyezései:
számuk , a különböző törtek pedig rendre | | (3) | számuk csak , mert a , , sorrend azonos törtet ad a , , sorrenddel. esetén célszerű lesz felhasználni az eddigieket. Egyelőre csak az utoljára végzendő osztást megválasztva mind az osztandó, mind az osztó összes különböző alakjait megadja (2) vagy (3). Így aleset van:
-ban a további zárójelek elhelyezésével az osztandó mindig (3) valamelyik törtje, és az eredmény mindig úgy adódik, hogy a nevezőt szorozzuk -tel; így csupa különböző törtet kapunk, felírásukat mellőzzük. A alesetben a (2) kifejezéseket kell szoroznunk -gyel, az eredmény (4) első két törtje. A -ben az osztandó mindig , az osztó kétféle, a (2) alattiakból kaphatók, mindegyik indexet -vel növelve: ill. . Az elsőt véve adódik (4) harmadik törtje, a második osztóval adódó törtet már megkaptuk az alesetben. Végül a alesetben az osztókat (3)-ból kapjuk, minden indexet -gyel növelve, de csak az első osztó esetében kapunk új törtet, ez a (4) negyedik törtje. Ezek szerint különböző törtet találtunk. | | (4) |
A (4) alatti tört a (3) alattiakból a számlálónak -tel való szorzásával adódik, vagyis -ről -re áttérve (3) mindegyik törtjéből újat kaptunk, -tel a nevezőt, ill. a számlálót szorozva. Máshogy nem is kapcsolható az eddigi törtekhez. Ugyanígy állt elő (2) két törtje -ből kétféle hozzákapcsolásával, majd (2)-ből a (3) alatti tört. Így , és minden lehetséges módon elhelyezve előfordult a nevezőben és a számlálóban, és a különböző törtek száma mindegyik hozzávételnél megkétszereződött. azonban csak a számlálóban állhat, csak osztandó lehet, mert nem áll előtte osztási jel, viszont csak a nevezőben állhat, mert vagy ő maga osztó, vagy ő egy több egymás utáni számból alakuló osztónak az osztandója.
II. Azt állítjuk, hogy az kifejezésből a zárójelek különböző elhelyezésével annyi különböző tört képezhető, ahányféleképpen helye megválasztható a számlálóban és a nevezőben (és mint már láttuk, minden törtben a számlálóban, a nevezőben áll). Ilyen elrendezés van, mert a nem rögzített számok száma . Azt kell csak belátnunk, hogy minden ilyen tört előáll a zárójelek alkalmas elhelyezésével. Feltesszük, hogy állításunk igaz, ha helyére valamely egész számot írunk, vagy a számok bármelyikét. (Ez, mint láttuk, esetén igaz.) helyére -et írva a kívánt törtben vagy a nevező, vagy a számláló tényezője. Az elhagyásával maradó törthöz a feltevés szerint tartozik a zárójel-párnak legalább egy megfelelő elhelyezése. Azokat a törteket, amelyekben a nevezőben áll, megkapjuk úgy, hogy az utoljára végzendő osztás osztójának magát -et vesszük, osztandójának pedig a visszamaradt törtet, vagyis az új zárójel-pár kezdő zárójelét elé, végző zárójelét után tesszük ki (az esetleg már ott levő zárójelek elé, ill. után). Valóban, tört osztásakor az osztóval a nevezőt szorozzuk. Ha pedig -nek a kívánt tört számlálójában kell állnia, akkor az eddig kijelölt utolsó osztás osztójának osztójaként írjuk -et, vagyis közvetlenül ezen osztás jele után teszünk egy új kezdő zárójelet, a végző zárójelet pedig után. Ekkor az alakú kifejezésből a következő keletkezik: , tehát számlálóját kell még -gyel megszorozni. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Vesztergombi Katalin (Budapest, Fazekas M. Gyak. G.) Szántó Ottó (Pécs, Zipernovszky K. Gépip. T.) Megjegyzés. Az esetben használt gondolatot továbbvíve meg lehet mutatni, hogy az zárójel-pár különböző elhelyezéseinek száma: Az érdeklődőknek ajánljuk az 1187. feladat II. megoldásához fűzött megjegyzés elolvasását. K.M.L. 26 (1963) 125‐127. o. |