Kezdőlap


Feladat:	1369. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Domokos László
Füzet:	1965/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 1369. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A $b$ alapú számrendszerben felírt $1221$ számot úgy számítjuk át a $b - 1$ alapúba, hogy a megfelelő $K = b^{3} + 2 b^{2} + 2 b + 1$ kifejezést $b - 1$ hatványai szerint rendezzük. A

\begin{matrix} {(b - 1)}^{3} = b^{3} - 3 b^{2} + 3 b - 1, {(b - 1)}^{2} = b^{2} - 2 b + 1 \end{matrix}

azonosságok alapján

\begin{matrix} b^{3} = {(b - 1)}^{3} + 3 b^{2} - 3 b + 1, b^{2} = {(b - 1)}^{2} + 2 b - 1, \end{matrix}

ezeket egymás után alkalmazva

\begin{matrix} K & = {(b - 1)}^{3} + 5 b^{2} - b + 2 = {(b - 1)}^{3} + 5 {(b - 1)}^{2} + 9 b - 3 = \\ = {(b - 1)}^{3} + 5 {(b - 1)}^{2} + 9 (b - 1) + 6. \end{matrix}

Eszerint a

K

szám

(b - 1)

-es számrendszerbeli alakjának rövidített felirása

1596

, hacsak az

5

9

6

együtthatók a

b - 1

alapú számrendszerben számjegyek, vagyis kisebbek az alapszámnál. Ez a

b - 1 = 12

11

és

10

esetekben teljesül, a tízes rendszerből kilencesbe való átszámításnál azonban nem. Ebben az esetben

\begin{matrix} 1221_{10} = 9^{3} + 5 \cdot 9^{2} + 9 \cdot 9 + 6 = 9^{3} + 6 \cdot 9^{2} + 6 = 1606_{9} . \end{matrix}

Másrészt azt is látjuk, hogy az

1221_{b} = 1596_{b - 1}

egyenlőség minden a

10

-nél nagyobb alapszám esetén érvényes.

II. Legyen egy megfelelö számjegysorozat

m n p q

, vagyis

m

n

p

q

egész számok,

1 \leq m < b

és

0 \leq n

p

q < b

. A fentihez hasonló átalakítással

\begin{matrix} m b^{3} & + n b^{2} + p b + q = m {(b - 1)}^{3} + (n + 3 m) b^{2} + (p - 3 m) b + q + m = \\ = m {(b - 1)}^{3} + (n + 3 m) {(b - 1)}^{2} + (p + 2 n + 3 m) b + (q - n - 2 m) = \\ = m {(b - 1)}^{3} + (n + 3 m) {(b - 1)}^{2} + (p + 2 n + 3 m) (b - 1) + \\ + (q + p + n + m), \end{matrix}

ennélfogva követelésünk szerint az

\begin{matrix} m, n + 3 m, p + 2 n + 3 m, q + p + n + m \end{matrix}

együtthatók egyike sem nagyobb

9

-nél:

\begin{matrix} m \leq 9, n + 3 m \leq 9, p + 2 n + 3 m \leq 9, p + q + n + m \leq 9, \end{matrix}

és legalább egy helyen egyenlőség áll.
A legnagyobb megfelelő eset

3006_{b} = 3999_{b - 1}

, könnyen adódnak a megadott számjegysorozatból

1222

1223

1224

és

1220

, egy csupa különböző számjegyből álló eset

1035_{b} = 1369_{b - 1}

.
Nem nehéz előállítani az összes megfelelő (négyjegyű) alakokat, valamint olyanokat is, amelyekkel még tovább csökkenthetjük a számrendszer alapszámát.

Domokos László (Tatabánya, Árpád g. III. o. t.)