Kezdőlap


Feladat:	1368. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Bárány I. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Herényi István , Lévai F. , Majtényi G. , Márki L. , Palotás Á. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Sipos M. , Sükösd Cs. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szörényi Miklós , Tényi Gusztáv , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/november, 145 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Tengely körüli forgatás, Gömbi geometria, Kombinatorikai leszámolási problémák, Szabályos testek, Háromszögtestek, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 1368. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Meghatározzuk az összes félegyenes-párok ‐ vagy ami ugyanaz ‐ a gömbsugár-párok bezárta szögeket. A furatok száma $26$ , ugyanis az Egyenlítőn, a $45^{\circ}$ -os északi és déli szélességű körökön ‐ nevezzük ezeket felezőkörnek ‐ egyenként $360^{\circ} : 45^{\circ} = 8$ van, és a sarkokon $1$ ‐ $1$ (itt a földrajzi hosszúság határozatlan). Ezekből $26 \cdot 25 / 2 = 325$ pár képezhető.

1. ábra

Elég azonban az

N

Északi sarkhoz és a kezdő délkör belőle kiinduló negyedíve

A

végpontjához és

B

felezőpontjához vezető sugárnak a többi sugárral bezárt szögét meghatározni, mert minden további sugárba átvihető ezek valamelyike, az Egyenlítő síkjára való tükrözés és az

O N

tengely körüli

k \cdot 45^{\circ}

szögű forgatások (

k

egész) alkalmazásával, ezek a transzformációk pedig a furatpontokból álló alakzatot önmagába viszik át. ‐ Nem szükséges továbbá a tompaszögeket alkotó sugarakat tekintetbe venni, mert azok szöge a meghosszabbításukba eső sugárral alkotott (hegyes) szöget

180^{\circ}

-ra kiegészítő szög.
A szögek többségének nagysága közvetlenül megállapítható. Így

O N

az északi felezőkör összes pontjaiba húzott gömbsugarakkal

45^{\circ}

szöget zár be, az Egyenlítő

8

furatába húzottakkal pedig

90^{\circ}

-ot. Az

O A

-val bezárt szögek másik száraként elég figyelembe venni az 1. ábra

A D N

gömbi háromszögében és a kerületén levő furatpontokba húzott sugarakat (kivéve már

O N

-t), ugyanis az

A

középpontú félgömb minden furatába vezető sugár átvihető ezek valamelyikébe az Egyenlítőre, a kezdő délkörre, vagy az

O A

egyenesre való tükrözéssel, és ezek

O A

-t helyben hagyják. A többi sugár

O A

-val tompaszöget alkot. ‐ Az

A O B

és

A O C

szög

45^{\circ}

A O D

és

A O G

pedig

90^{\circ}

. Az

A O F

szög meghatározására nézzük az

A

F

H

A'

pontokat. Ezek egy síkban vannak, mert

H F ∥ A A'

, s így egy főkörön, mert

A

A'

átellenes pontok.

F H

a gömb sugarával egyenlő, mert az északi felezőkörbe írt

F H K

egyenlő szárú derékszögű háromszög egyik szára, s így egyenlő a vele közös átfogójú

F O K

ugyancsak egyenlő szárú derékszögű háromszög

F O

szárával. Így

F O H ∢ = 60^{\circ}

, és

\begin{matrix} A O F ∢ = A' O H ∢ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - F O H ∢) = 60^{\circ} . \end{matrix}

B

középpontú félgömb határa a

D

J

D'

J'

pontokon megy át, az ezekhez vezető sugarak

90^{\circ}

-ot zárnak be

O B

-vel. A többi furathoz vivő sugarak közül elég

O C

-t,

O F

-et,

O G

-t és

O H

-t nézni, mert a többit vagy már tekintetbe vettük, vagy ezek tükörképei a kezdő délkör síkjára. Ezek közül

B O C ∢ = A O F ∢ = 60^{\circ}

B O G ∢ = F O H ∢ = 60^{\circ}

. A másik két szög meghatározására kiszámítjuk a

B F

B H

gömbi húrokat, a gömb sugarát választva mértékegységnek.
Az északi felezőkör középpontját

O_{1}

-gyel,

F

vetületét

O_{1} B

-n

F_{1}

-gyel jelölve

B O_{1} F ∢ = 45^{\circ}

, mint az északi felezőkörbe írt szabályos nyolcszög egy oldalához tartozó középponti szög. Így az

F O_{1} O

és

F F_{1} O_{1}

egyenlő szárú derékszögű háromszögekből

F O_{1} = F O / \sqrt[]{2} = 1 / \sqrt[]{2} = B O_{1}

, és

F F_{1} = F_{1} O_{1} = F O / \sqrt[]{2} =^{1} /_{2}

, a

B F F_{1}

derékszögű háromszögből pedig

\begin{matrix} B F^{2} = F F_{1}^{2} + B F_{1}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt[]{2}} - \frac{1}{2})}^{2} = 1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}}; \end{matrix}

továbbá az északi felezőkörbe írt

B H J

derékszögű háromszögben

H J = B F

, így

\begin{matrix} B H^{2} = B J^{2} - J H^{2} = {(2 B O_{1})}^{2} - B F^{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

Most már

\begin{matrix} cos B O F ∢ = \frac{O B^{2} + O F^{2} - B F^{2}}{2 \cdot O B \cdot O F} = \frac{2 + \sqrt[]{2}}{4}, B O F ∢ \approx 31, 4^{\circ}, \\ cos B O H ∢ = \frac{O B^{2} + O H^{2} - B H^{2}}{2 \cdot O B \cdot O H} = \frac{2 - \sqrt[]{2}}{4}, B O H ∢ \approx 81, 6^{\circ} . \end{matrix}

2. ábra

II. A 2. ábra térképszerűen tünteti fel a keleti félgömb furataihoz tartozó gömbsugarak és az

O A

, ill.

O B

sugár közti szögeket. Ezek szerint

\begin{matrix} 31, 4^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 81, 6^{\circ}, 90^{\circ} \end{matrix}

értékű szöget az

O A

sugár rendre összesen

\begin{matrix} 0, 4, 4, 0, 8 \end{matrix}

másik sugárral zár be, az

O B

sugár rendre

\begin{matrix} 2, 2, 4, 2, 4 \end{matrix}

másik sugárral,

O N

pedig rendre

\begin{matrix} 0, 8, 0, 0, 8 \end{matrix}

sugárral.

N

-nel ekvivalens pont

1

van, a Déli sark,

A

-val ekvivalens további

7

B

-vel pedig további

15

, ezért adatsorainkat rendre

8

-cal,

16

-tal,

2

-vel szorozva, majd összeadva az egyes szög-értékek előfordulási számainak

2

-szeresét kapnók, mert minden szöget mindkét száránál számba vennénk. Így az előfordulási számok:

\begin{matrix} 31, 4^{\circ}-ra & (8 \cdot 0 + 16 \cdot 2 + 2 \cdot 0) : 2 = 16, \\ 45^{\circ}-ra & (8 \cdot 4 + 16 \cdot 2 + 2 \cdot 8) : 2 = 40, \\ 60^{\circ}-ra & (8 \cdot 4 + 16 \cdot 4 + 2 \cdot 0) : 2 = 48, \\ 81, 6^{\circ}-ra & (8 \cdot 0 + 16 \cdot 2 + 2 \cdot 0) : 2 = 16, \\ 90^{\circ}-ra & (8 \cdot 8 + 16 \cdot 4 + 2 \cdot 8) : 2 = 72. \end{matrix}

(A hegyes szögek együttes száma

120

, ugyanennyi a kiegészítő tompaszög ezekhez hozzávéve a

72

derékszöget és a

(26 : 2 =)

13

egyenesszöget, megkapjuk a szögek előre megállapított összes számát.)
III. A szabályos tetraéder élváza előállítható az építőkészletből, mert csúcsaiban három, páronként

60^{\circ}

-ot bezáró él fut össze, és ilyen furathármas van a gömbön, pl.

B C G

(a pálcák egyenlő hossza pedig az élek egyenlőségét biztosítja).
Ugyanígy a szabályos oktaéder egy csúcsából kiinduló élnégyes előállítható, pl. az

A

csúccsal szomszédos

B

C

J'

E'

furatokba illesztett pálcákkal, így ugyanis a

60^{\circ}

-os élszögeken túl az a további követelmény is teljesül, hogy a szemben levő élek közti szög

90^{\circ}

.
A harmadik test élváza nem készíthető el a készletből. Ugyanis a tetraéder csak a

B C G

furathármas valamelyik szimmetrikusával készíthető el, hiszen

O N

szárral nincs

60^{\circ}

-os szög,

C

-től

60^{\circ}

szögtávolságban csak a felezőkörökön található

2

‐

2

furat, de közülük csak ugyanazon felezőkörön levők között van

60^{\circ}

-os távolság, végül egy felezőkörön sincs

3

megfelelő furat. Olyan negyedik furat pedig nincs, amely

B

C

és

G

bármelyik párjától ismét

60^{\circ}

szögtávolságra volna.

Szörényi Miklós (Pécs, Széchenyi I. g. IV. o. t.)

Tényi Gusztáv (Budapest, Bláthy O. vill, ip. t. III. o. t.)

Herényi István (Budapest, I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés. A

P_{1} (λ_{1}, φ_{1})

és

P_{2} (λ_{2}, φ_{2})

földrajzi koordinátájú pontok szögtávolságát megadó

\begin{matrix} cos υ = sin φ_{1} sin φ_{2} + cos φ_{1} cos φ_{2} cos (λ_{1} - λ_{2}) \end{matrix}

összefüggéssel (a gömbi trigonometria ún. oldal-koszinusz-tételével) a szögek számítása gépiesen végezhető. Célszerű

P_{1}

-et rögzíteni (mint fent

A

-t, majd

B

-t) és

P_{2}

-t végigfuttatni a többi adott pontokon.