Feladat: 1367. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Babai L. ,  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Benkő A. ,  Darvas Gy. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Dömötör P. ,  Elekes Gy. ,  Eőry L. ,  Ferenczi György ,  Fojt L. ,  Forgács P. ,  Gáspár A. ,  Herényi I. ,  Herzsényi B. ,  Hoffmann Gy. ,  Huhn A. ,  Juhász F. ,  Kálmán A. ,  Kalmár T. ,  Karosi Gy. ,  Kiss A. ,  Korchmáros G. ,  Lamm P. ,  Lévai F. ,  Majtényi G. ,  Nagy István ,  Nagy Klára ,  Racskó P. ,  Scsaurszky P. ,  Simig Gy. ,  Staub Klára ,  Surányi L. ,  Sükösd Cs. ,  Szeidl L. ,  Székely G. ,  Szörényi M. ,  Telegdi L. ,  Tényi G. ,  Vermes D. ,  Vincze T. 
Füzet: 1965/október, 74 - 76. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Numerikus és grafikus módszerek, Diszkusszió, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/január: 1367. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A közelítő egyenlőségben szereplő 50-os szög a szabályos 9-szög egy oldalához tartozó 40-os középponti szögnek pótszöge, ezért közelítőleg (510-5-nél kisebb hibával)

cos40sin60-1/10,
másrészt sin60 az egységnyi oldalú szabályos háromszög magassága.
Eszerint egy szabályos háromszög magasságából az oldal 1/10 részét kivonva, és a különbség, mint befogó fölé a háromszög-oldallal egyenlő átfogójú derékszögű háromszöget szerkesztve, a befogó melletti szög adja a 40 fenti közelítő értékét. Ennek alapján az O középpontú és r sugarú körbe az alábbiak szerint szerkeszthetünk közelítőleg szabályos 9-szöget, amelynek egy csúcsa a kör A pontja.
 
 

Messe k-t az A körül r sugárral írt k1 kör L-ben, az AL húrt az O-ból rá bocsátott merőleges M-ben (e merőleges egy pontját k1-ből mindjárt kimetszi az L körüli r sugarú kör). Mérjük fel M-től O felé az r/10 szakaszt,1 legyen a végpont N. Az O körüli ON sugarú k2 kör és az OA átmérőjű k3 kör metszéspontjai legyenek P és Q. Messe k-t az OP, AP, AQ, OQ félegyenes rendre a B, C, H, J pontban. Ekkor H, J, A, B, C a közelítő 9-szög egymás utáni csúcsai.
Nyilvánvaló ugyanis, hogy a HJ, JA, BC ívek egyenlők AB-vel, az utóbbihoz tartozó AOP középponti szög pedig közelítőleg 40, hiszen AP merőleges OP-re, és így
cosAOP=OPOA=ONOA=OM-MNOA=32-110cos40.

A hátra levő csúcsok előállítása végett legyen k és a C körüli, CB sugarú kör új metszéspontja D; a további E, F, G pontokat pl. a kisebb HD ív ismételt felezésével kaphatjuk. Így az ABCDEFGHJ 9-szög körbe írt, H-tól A-n át D-ig menő oldalai egyenlők, és D-től F-en át H-ig menő oldalai ugyancsak egyenlők.
 

II. Legyen AOP=y. Így cosy=(53-1)/10, és az 1308. feladat megoldásának2 gondolatát követve, majd a négyzetgyököt a könnyen adódó, 8 tizedes pontosságú 1,732 050 80 alsó közelítő értékkel pótolva
cos3y=153-151250=603-6041000>-0,50007696
(az utolsó jegyben az abszolút értéket fölkerekítettük), tehát mindenesetre cos3y>-0,50008.
Tudjuk, hogy cos120=-0,5000, és az iskolai négyjegyű függvénytáblázat szerint 4 tizedesre kerekítve cos120,1=-0,5015. Meg akarjuk becsülni, legfeljebb mekkora eltérést okoz 3y és 120 között a koszinuszaikban mutatkozó legfeljebb 810-5 eltérés. A keresett eltérés akkor adódik legkedvezőtlenebbnek, legnagyobbnak, ha a koszinusz függvény 120 körüli változására azt a legkisebb értéket vesszük alapul (abszolút értékben értve), amire a táblázatból következtetni lehet. A kerekítés miatt
-0,50155cos120,1-0,50145,
eszerint a 120 és 120,1 közti 0,1 közre a koszinusz-függvény változása legalább 14510-5, ezért ‐ a változást, mint szokás, egyenletesnek véve ‐ a keresett változás legfeljebb
810-514510-50,1=8145360''<20''.
Eszerint y kevesebbel haladja meg a 40-ot, mint 7''.
Továbbmenve az A-t tartalmazó HOD szög többlete 200-hoz képest (amennyinek kellene lennie) kisebb 35''-nél, a másik HOD szög hiánya 160-hoz képest ugyancsak kisebb, mint 35'', így a D-től H-ig terjedő oldalakhoz tartozó középponti szög hiánya 40-hoz képest kisebb 9''-nél, ami a középponti szög pontos értékének 1/16 000 része.
 
 Ferenczi György (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
1Ennek megszerkesztését itt nem részletezzük; egy lehetőséget ad a 961. gyakorlat, kitűzését lásd K. M. L. 30 (1965) 28. o.

2K. M. L. 30 (1965) 113. o.