Kezdőlap


Feladat:	1366. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eff Lajos
Füzet:	1965/november, 144 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Téglalapok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 1366. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $B C D$ derékszögű háromszögben a mértani középarányosra ismert tételek szerint

\begin{matrix} D E = \frac{D C^{2}}{D B}, B E = \frac{B C^{2}}{B D} . \end{matrix}

Ebből, és mert a

G E D

és

F B E

háromszögek hasonlók az

A B D

háromszöghöz:

\begin{matrix} A F & = G E = \frac{D E}{D B} \cdot A B = {(\frac{D C}{D B})}^{2} \cdot A B = {(\frac{D C}{A C})}^{2} \cdot D C = \frac{D C^{3}}{A C^{2}}, \\ A G & = F E = \frac{B E}{B D} \cdot A D = {(\frac{B C}{B D})}^{2} \cdot B C = \frac{B C^{3}}{A C^{2}} = \frac{A D^{3}}{A C^{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} Ezekből (1) bal oldala A F^{2 / 3} + A G^{2 / 3} & = \frac{D C^{2} + A D^{2}}{A C^{4 / 3}} = \frac{A C^{2}}{A C^{4 / 3}} = \\ = A C^{2 / 3}, \end{matrix}

tehát az állítás helyes.

Eff Lajos (Budapest, Fazekas M. g. II. o. t.)

II. megoldás. Felhasználva az ábra egyenlő szögeit és

A F E G

paralelogramma voltát:

\begin{matrix} A F & = G E = D E cos φ = D C cos^{2} φ = A C cos^{3} φ, \\ A G & = F E = B E sin φ = B C sin^{2} φ = A C sin^{3} φ . \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} cos^{2} φ = {(\frac{A F}{A C})}^{2 / 3}, sin^{2} φ = {(\frac{A G}{A C})}^{2 / 3}, \end{matrix}

és ezeket a

cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1

azonosságba behelyettesítve, átszorzással a bizonyítandó állítást kapjuk.