Kezdőlap


Feladat:	1363. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáspár András , Nagy Zsuzsa
Füzet:	1966/január, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 1363. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mint ismeretes¹, [ $x$ ] az $x$ szám ún. egész részét, és így $x - [x]$ az ún. tört részét jelöli, (1) és (2) bal oldalának képe az ábra felső, ill. alsó részének ,,lépcsős'', ill. ,,halszálkás'' görbéje, az egyenesszakaszoknak mindig a bal végpontja tartozik hozzá a grafikonhoz, a jobb nem (tele, ill. üres köröcske). A jobb oldal képe az $e$ , ill. $f$ egyenes.

Az egyenletek gyökeit mindegyik esetben a két grafikon közös pontjaihoz tartozó abszcisszák adják, ezek mindkét egyenlet esetében, 1 tizedes pontossággal

\begin{matrix} x_{1} = - 5, x_{2} \approx - 3, 9, & (3) \\ x_{3} \approx - 2, 8, x_{4} \approx - 1, 6; \\ x_{5} \approx - 0, 5, x_{6} \approx 0, 6, \\ x_{7} \approx 1, 8, x_{8} \approx 2, 9. \end{matrix}

A megegyezés annak a következménye, hogy (2) csupán átrendezett alakja (1)-nek, ekvivalens vele.
Más megoldás nincs. Ugyanis a definíció szerint

\begin{matrix} x - 1 < [x] \leq x, \end{matrix}

és ezt (

- 1

)-gyel szorozva, majd

x

-et hozzáadva

\begin{matrix} 1 > x - [x] \geq 0, \end{matrix}

ezek szerint a lépcsős görbének csak az

y = x - 1

és

y = x

párhuzamos egyenesek között és az utóbbi egyenesen vannak pontjai, a halszálkás görbének pedig csak az

y = 1

és

y = 0

egyenesek között és az utóbbi egyenesen, viszont az egyenletek jobb oldalát ábrázoló egyenes ezeket az egyeneseket ‐ mindkét egyenlet esetében

- a

- 5

, ill.

+ 4

abszcisszájú pontban metszi, ezeken kívül nem lehet közös pont (már a

+ 4

abszcisszán sem lehet közös pont).

Gáspár András (Budapest, Vasútgépészeti techn. II. o. t.)

Megjegyzés. A gyököket az egyenes

- 5

és 4 abszcisszájú pontjai közti szakasza kezdő pontjának és 8 egyenlő részre osztó belső pontjainak abszcisszái adják (mind a két esetben), így pontos értékük

\begin{matrix} x_{k} = - 5 + (k - 1) \frac{4 - (- 5)}{8} = - 5 + \frac{9}{8} (k - 1), (k = 1, 2 ..., 8) . \end{matrix}

Nagy Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. g. IV. o. t.)

¹Lásd pl. Hódi E.‐Szász G.‐Tolnai J.: Matematika az ált. gim. IV. o. t. számára, 11. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp., 1962. 27‐29. o.