Kezdőlap


Feladat:	1362. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kalmár István , Újvári István , Váradi Katalin
Füzet:	1965/október, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Variációk, Totó, Számsorozatok, Eloszlások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 1362. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Eljárást adunk egy adott totóeredményhez a $k$ -találatos tippek előállítására és számuk meghatározására. Először minden lehetséges módon kiválasztunk $k$ mérkőzést a totószelvény 1.‐13. sorai közül, ezekre a helyes eredményt írjuk be, majd a többi $13 - k$ helyre minden lehetséges módon a helynek megfelelően a 2 hibás tipp valamelyikét, pl. 1-et vagy 2-t az olyan sorokba, ahol $\times$ hozott volna találatot.
Gondoljuk, hogy a helyes eredménnyel kitöltendő $k$ sor sorszámait egy zsákból húzzuk ki, amely külön cédulákon tartalmazza a sorszámokat. Az első, a második, a harmadik kihúzott cédulát rendre 13, 12, ill. 11-féleképpen választhatjuk aszerint, hogy még hány cédula van a zsákban, és így tovább, a $k$ -adikat ( $14 - k$ )-féleképpen. Az így adódott $13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot ... \cdot (14 - k)$ -féle összeválogatás azonban nem mind különböző, ugyanazokat a sorszámokat különböző sorrendekben is megkapjuk, ez pedig a tippben nem lényeges.
Gondoljuk, hogy a már kihúzott $k$ cédulát ismét (egy üres) zsákba tesszük, és az onnan történt kihúzás sorrendjében írjuk be a helyes találatokat a tippbe. Az előző meggondolás mintájára adódik, hogy ez $k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot ... \cdot 1$ -féleképpen történhet (az utolsó tényező 1), minden különböző $k$ -tagú tipp-rész esetében ennyi a nem lényegesen különböző összeválogatások száma. Így a lényegesen különböző $k$ -tagú soregyüttesek keresett száma a két szorzat hányadosa.
Továbbfejlesztve ezeket a tipp-részeket, és figyelembe véve az első hibásan kitöltendő sor 2-féle lehetőségét, a folytatások száma 2-szerese a talált hányadosnak, majd a 2-vel való szorzás mindannyiszor ismétlődik, ahányszor egy további elhibázandó sort veszünk figyelembe. Mindezek szerint a $k$ -találatos szelvények száma

\begin{matrix} T_{k} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot ... \cdot (14 - k)}{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot ... \cdot 1} \cdot 2^{13 - k} . \end{matrix}

(1)

(Úgy beszéltünk, mintha

k > 3

volna; könnyű belátni azonban, hogy eredményünk a kisebb

k

értékekre is érvényes.)
b) Hasonlítsuk most össze nagyság szempontjából az egymás utáni

T_{k + 1}

és

T_{k}

számokat. Ehhez kiszámításuk nélkül megkaphatjuk hányadosukat, és aszerint áll

T_{k + 1} ≷ T_{k}

, hogy a hányados nagyobb 1-nél, vagy kisebb nála.

T_{k + 1}

számlálója is, nevezője is

T_{k}

-éhoz képest 1-gyel több tényezőt tartalmaz, a hatvány viszont 1-gyel kevesebbet. Egyszerűsítéssel

\begin{matrix} \frac{T_{k + 1}}{T_{k}} = \frac{13 - k}{k + 1} \cdot \frac{1}{2} . \end{matrix}

(2)

Mármost

\begin{matrix} \frac{13 - k}{2 k + 2} ⋛ 1, ha k ⋚ \frac{11}{3} (és k + 1 > 0), \end{matrix}

így

T_{0} < T_{1} < T_{2} < T_{3} < T_{4} > T_{5} > T_{6} > ... > T_{13}

, vagyis a 4-találatos csoportba kerül a legtöbb tipp.

Ujvári István (Budapest, Fazekas M. Gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A (2) eredményt az (1) előállítása nélkül is megkaphatjuk. Képezzük a

k + 1

találatos tippek

T_{k + 1}

számát a

k

találatosak

T_{k}

számából. Egy kiszemelt hibásan tippelt mérkőzés szempontjából a

k

találatos tippek

T_{k} / 2

olyan párba kapcsolhatók, amelyek tagjai csak a kiszemelt mérkőzés tippjében különböznek. Minden ilyen párból a kiszemelt tippet kijavítva egyetlen

k + 1

-es találatot kapunk. Minden

k

találatos tippet

13 - k

hibás helyen lehet javítani, viszont minden

k + 1

találatos tippet ismételten,

k + 1

-szer kapunk meg aszerint, hogy melyik találata keletkezett ilyen javítással, ezért

\begin{matrix} T_{k + 1} = \frac{T_{k}}{2} \cdot \frac{13 - k}{k + 1}, \end{matrix}

ami azonos (2)-vel.

Kalmár István (Debrecen, Fazekas M. g. III. o. t.)

2. A totószelvényre 13 helyett

N = 3 n + 2

mérkőzést felvéve az

n

és

n + 1

találatos tippek száma egyenlő, és minden más találatszám kevesebb tippen adódik. Más alakú

N

-ek esetén legtöbb tipp ott van, ahol a találatok száma az

(N + 1) / 3

tört egész része.

Váradi Katalin (Budapest, Ságvári E. gyak. g. I. o. t.)