Kezdőlap


Feladat:	1361. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gellért János
Füzet:	1965/november, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 1361. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kifejezés első tényezőjét, $T_{1}$ -et egy háromtagú kifejezés négyzetének tagokra bontásakor keletkező négyzetes tagoknak tekinthetjük. Így a feltevés felhasználásával

\begin{matrix} T_{1} & = {(x y + x z + y z)}^{2} - 2 x^{2} y z - 2 x y^{2} z - 2 x y z^{2} = \\ = {(x y + x z + y z)}^{2} - 2 x y z (x + y + z) = {(x y + x z + y z)}^{2} . \end{matrix}

T_{2}

második tényezőből

x y z

-t kiemelve hasonló felismeréssel és átalakítással

\begin{matrix} T_{2} & = x y z (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = x y z [{(x + y + z)}^{2} - 2 (x y + y z + z x)] = \\ = - 2 x y z (x y + y z + z x) . \end{matrix}

T_{3}

harmadik tényezőnek és a belőle kiemelhető

x y z

szorzatnak a hányadosát a feltevés ismételt alkalmazásával így alakíthatjuk:

\begin{matrix} x^{2} (y + z) + y^{2} (x + z) + z^{2} (x + y) = x^{2} (- x) + y^{2} (- y) + z^{2} (- z) = \\ = - (x^{3} + y^{3} + z^{3}) = - {{[(x + y) + z]}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 {(x + y)}^{2} z - 3 (x + y) z^{2}} = \\ = - {- 3 x y (- z) - 3 {(- z)}^{2} z - 3 (- z) z^{2}} = - 3 x y z . \end{matrix}

(A köbök összegét úgy írtuk fel, mint az összeg köbéből és a hiányzó vegyes szorzatok összegéből képezett különbséget, majd

x + y

helyére mindenütt

- z

-t írtunk.) Így

\begin{matrix} T_{3} = - 3 x^{2} y^{2} z^{2} és \\ K = T_{1} \cdot T_{2} \cdot T_{3} = 6 x^{3} y^{3} z^{3} {(x y + y z + z x)}^{3} = {[\sqrt[3]{6} x y z (x y + y z + z x)]}^{3} . \end{matrix}

Gellért János (Budapest, Radnóti M. gyak. g. II. o. t.)