Feladat: 1360. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Baranyai Zs. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Ferenczi Gy. ,  Forgács Péter ,  Herényi I. ,  Hoffer Anna ,  Hoffmann Gy. ,  Huhn A. ,  Lévai F. ,  Loparits Éva ,  Major P. ,  Majtényi G. ,  Malina J. ,  Márki L. ,  Molnár Ágnes ,  Nagy Zsuzsa ,  Palotás Á. ,  Scsaurszky P. ,  Simig Gy. ,  Szántó O. ,  Szeidl L. ,  Székely G. ,  Szemkeő Judit ,  Szörényi M. ,  Vesztergombi Katalin ,  Zeisler József 
Füzet: 1965/december, 207 - 208. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csonkagúlák, Négyszög alapú egyéb hasábok, Konstruktív megoldási módszer, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/december: 1360. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha hat trapézból testet akarunk összeállítani, akkor az egyik trapézhoz mindegyik éle mentén egy-egy trapéznak kell illeszkednie. Ez már 5 lap. Ezt egy hatodikkal csak úgy lehet lezárni, ha az első trapéz szomszédos éleihez illeszkedő trapézoknak egymással is van egy közös élük, a szabadon maradó egy-egy élhez pedig a hatodik trapéz csatlakozik. Így a testnek 12 éle és 8 csúcsa van, és minden csúcs három lapnak közös csúcsa. A hatlapú test (hexaéder) élváza (csúcsainak összekötési rendje a méretektől eltekintve) csak az 1. ábra szerinti lehet.

 
 
1. ábra
 

Tegyük fel, hogy a hexaéder megtervezhető, és válasszuk a betűzést úgy, hogy az ABCD trapézlap párhuzamos oldalai AB és CD legyenek, AD és BC nem párhuzamos oldalai a P pontban fussanak össze, amely CD-nek AB-t nem tartalmazó oldalán van. Így AB>CD. Továbbá az ADHE trapézlapban az AD és EH élek, a BCGF trapézlapban a BC és FG élek a párhuzamos oldalak, ennélfogva az EFGH trapézlapban EH és FG lesznek a nem-párhuzamos oldalak, meghosszabbítva metszik egymást egy Q pontban.
Eszerint az ABCD és EFGH lapok síkjai párhuzamosak, mert a P-ben, ill. Q-ban összefutó 2‐2 egyenesük párhuzamos. Így az AB és EF élek, mint e síkoknak az ABFE lapsíkkal való metszésvonalai, párhuzamosak. A követelmény szerint viszont ez a két él nem lehet párhuzamos, hiszen AB az ABCD trapézban párhuzamos oldal, és ezért az ABFE trapézban nem az. Ezek szerint az első esetben nem lehet megfelelő hexaédert tervezni.
 
 
2. ábra
 

A második esetre viszont már az eddigiek alapján is adhatunk egy megfelelő hexaédert, vagyis meghagyva, hogy az AD és BC élek az őket alkotó 2‐2 trapézlap egyikében párhuzamos oldal szerepét játsszák, másikában pedig nem párhuzamos oldal szerepét: vegyünk az ABCD trapéz síkján kívül egy M pontot, kössük össze a trapéz csúcsaival, messük az így adódó gúlát az MA él egy belső pontján, pl. felezőpontján, E-n átmenő síkkal, és vegyük F, G, H csúcsnak e sík és az MB, MC, MD él metszéspontját (2. ábra). A keletkező csonkagúla oldallapjai szoros értelemben vett trapézok, száraik M-ben futnak össze, ugyanígy az EFGH lap is, mert ez az ABCD trapéz 2:1 arányú kicsinyítése, EH és FG szárai az MP szakasz felezőpontjában futnak össze.
 
Forgács Péter (Budapest, Kandó K. hír. ip. t. III. o. t.)