|
Feladat: |
1360. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh K. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Ferenczi Gy. , Forgács Péter , Herényi I. , Hoffer Anna , Hoffmann Gy. , Huhn A. , Lévai F. , Loparits Éva , Major P. , Majtényi G. , Malina J. , Márki L. , Molnár Ágnes , Nagy Zsuzsa , Palotás Á. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Szántó O. , Szeidl L. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szörényi M. , Vesztergombi Katalin , Zeisler József |
Füzet: |
1965/december,
207 - 208. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Csonkagúlák, Négyszög alapú egyéb hasábok, Konstruktív megoldási módszer, Térgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/december: 1360. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha hat trapézból testet akarunk összeállítani, akkor az egyik trapézhoz mindegyik éle mentén egy-egy trapéznak kell illeszkednie. Ez már 5 lap. Ezt egy hatodikkal csak úgy lehet lezárni, ha az első trapéz szomszédos éleihez illeszkedő trapézoknak egymással is van egy közös élük, a szabadon maradó egy-egy élhez pedig a hatodik trapéz csatlakozik. Így a testnek 12 éle és 8 csúcsa van, és minden csúcs három lapnak közös csúcsa. A hatlapú test (hexaéder) élváza (csúcsainak összekötési rendje a méretektől eltekintve) csak az 1. ábra szerinti lehet.
1. ábra Tegyük fel, hogy a hexaéder megtervezhető, és válasszuk a betűzést úgy, hogy az trapézlap párhuzamos oldalai és legyenek, és nem párhuzamos oldalai a pontban fussanak össze, amely -nek -t nem tartalmazó oldalán van. Így . Továbbá az trapézlapban az és élek, a trapézlapban a és élek a párhuzamos oldalak, ennélfogva az trapézlapban és lesznek a nem-párhuzamos oldalak, meghosszabbítva metszik egymást egy pontban. Eszerint az és lapok síkjai párhuzamosak, mert a -ben, ill. -ban összefutó 2‐2 egyenesük párhuzamos. Így az és élek, mint e síkoknak az lapsíkkal való metszésvonalai, párhuzamosak. A követelmény szerint viszont ez a két él nem lehet párhuzamos, hiszen az trapézban párhuzamos oldal, és ezért az trapézban nem az. Ezek szerint az első esetben nem lehet megfelelő hexaédert tervezni.
2. ábra A második esetre viszont már az eddigiek alapján is adhatunk egy megfelelő hexaédert, vagyis meghagyva, hogy az és élek az őket alkotó 2‐2 trapézlap egyikében párhuzamos oldal szerepét játsszák, másikában pedig nem párhuzamos oldal szerepét: vegyünk az trapéz síkján kívül egy pontot, kössük össze a trapéz csúcsaival, messük az így adódó gúlát az él egy belső pontján, pl. felezőpontján, -n átmenő síkkal, és vegyük , , csúcsnak e sík és az , , él metszéspontját (2. ábra). A keletkező csonkagúla oldallapjai szoros értelemben vett trapézok, száraik -ben futnak össze, ugyanígy az lap is, mert ez az trapéz arányú kicsinyítése, és szárai az szakasz felezőpontjában futnak össze.
Forgács Péter (Budapest, Kandó K. hír. ip. t. III. o. t.)
|
|