Kezdőlap


Feladat:	1353. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csirmaz László
Füzet:	1965/október, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Együttes munkára vonatkozó feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 1353. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Előnyösebb, ha a $B$ üzem a II. típus gyártásával kezdi a munkát, mert ebben a napi termelése 2-szer akkora, mint $A$ -é, az I. típus gyártásában pedig csak 5/3-szor akkora. Ezért $A$ -t kezdetben az I. típus gyártásával bízzuk meg.
A rendelt darabszám elkészítéséhez $A$ -nak (az I.-ből) 50, $B$ -nek (a II.-ból) 20 napra van szüksége. Ezért a 21. naptól kezdve $B$ is az I. típust fogja gyártani. Abból addig 600 darabot készített $A$ . A hátra levő 900 db elkészítése $900 : 80 = 11, 25$ napot vesz igénybe, mert nyilvánvalóan úgy készülnek el leghamarabb, ha egyik sem hagyja előbb abba a munkát a másiknál, és így a két üzemben együttesen 80 db készül el naponta. Ebben az időszakban $B$ $562, 5$ db I. típusú műszert gyárt, $A$ pedig további $337, 5$ db-ot.
Ezek szerint a gyártási terv így alakul: az $A$ üzem $937, 5$ db I. típusú műszert készít, $B$ pedig $562, 5$ db I. és 800 db II. típusút, mindkét üzem 31 és 1/4 napig dolgozik a munkáján.
Minthogy azonban bizonyára nem lehet a termelést fél darabokra felbontani, a tört darabszámot egészre kerekítjük, egyiket le, másikat fel. Célszerűbb $A$ -ra 937, $B$ -re 563 db-ot kiosztani, mert így hamarabb fejeződik be a munka, bár csak percekkel.
Amennyiben a csomagolás egysége nagyobb a db-nál, esetleg további kerekítésre kerül sor, ez azonban nem hosszabbítja meg lényegesen a több mint 1 hónapos gyártási időt.

Megjegyzés. A meggondolást így is kezdhettük volna: Előnyösebb az I. típus gyártását

A

-ra bíznunk, mert itt az I.-ből

50 %

-kal nagyobb a napi darabszám, mint a II.-ból,

B

-ben pedig csak

25 %

-kal. Ebből is kiadódik, hogy a II. gyártását

B

kezdje.

II. megoldás. Gyártsa az

A

üzem az I. típust

x

napon át, a II. típust

y

napon át. Ezalatt 30

x

, ill. 20

y

darabot készít, így a

B

üzemnek

1500 - 30 x

, ill.

800 - 20 y

darabot kell készíteni. Ehhez

(1500 - 30 x) / 50 = 30 - 0, 6 x

, ill.

(800 - 20 y) / 40 = 20 - 0, 5 y

napra van szüksége, összesen

50 - 0, 6 x - 0, 5 y

napig dolgozik.
A legkedvezőbb esetben a két üzem munkaideje egyenlő, különben az összes idő csökkenthető azzal, hogy az előbb végző üzem átveszi a másik munkája hátralékának egy részét. Így

\begin{matrix} x + y = 50 - 0, 6 x - 0, 5 y, azaz 1, 6 x + 1, 5 y = 50. \end{matrix}

Itt sem

x

, sem

y

nem negatív, és azt keressük, mikor lesz a

t = x + y

teljes gyártási idő a legkisebb. Egyenletünket

1, 6 t = 50 + 0, 1 y

alakban írva nyilván akkor, ha

y

a lehető legkisebb, azaz 0. Ekkor

x = t = \frac{50}{1, 6} = 31 \frac{1}{4}

nap. Ez alatt az

A

üzem az I. műszerből

30 x = 937 \frac{1}{2}

-et gyárt. A

B

üzemnek a még szükséges

562 \frac{1}{2}

I. típusú műszer készítéséhez

562 \frac{1}{2} : 50 = 11 \frac{1}{4}

napra, a 800 db II. típusú műszer legyártásához pedig

800 / 40 = 20

napra, tehát összesen szintén

31 \frac{1}{4}

napra van szüksége. ‐ A gyakorlatban természetesen a célszerűségnek megfelelően kerekítendők az eredmények.
Csirmaz László (Budapest, Hunyadi J. ált. isk. 8. o. t.)

Megjegyzés. Kiindulhatunk a

B

üzem tervéből is: gyártsa az I. típust

u

, a II.-t

v

napon át, ebből

8 u + 9 v = 270

adódik. Azonban most

v \leq 20

, különben többet termelne, mint a rendelés, emiatt

\begin{matrix} t = u + v = \frac{270 - v}{8} \end{matrix}

minimális értéke a legnagyobb

v

-t véve

(270 - 20) : 8 = 31

és 1/4 nap.