Kezdőlap


Feladat:	1347. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kis István
Füzet:	1965/november, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Maradékos osztás, Prímtényezős felbontás, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 1347. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a középső szám $n$ . Két-két tényezőt összeszorozva, másrészt az $\bar{A B A B A B}$ számot szorzattá alakítva a követelmény így írható

\begin{matrix} (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) = 120 \cdot \bar{A B A B A B}, & (1) \\ (n^{2} - 4) (n^{2} - 1) n = 120 \cdot \bar{A B} \cdot 10101 = & (1a) \\ = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37 \cdot \bar{A B} . \end{matrix}

Felső korlátot kaphatunk

n

-re, ha a bal oldal második tényezője helyett is az első tényezőt, a harmadik tényező helyett pedig az első négyzetgyökét írva ezt az oldalt csökkentjük; viszont a hatjegyű szám helyett (1)-ben

10^{6}

-t írva a jobb oldalt növeljük, így

\begin{matrix} {(n^{2} - 4)}^{5 / 2} < 120 \cdot 10^{6} = 1200 \cdot 10^{5} < {(5 \cdot 10)}^{5}, \end{matrix}

mert

5^{5} > 1200

. Mindkét oldalt

2 / 5

kitevőjű hatványra emelve

\begin{matrix} n^{2} - 4 < 2500, n \leq 50, n + 2 \leq 52. \end{matrix}

(1a) szerint a bal oldal osztható

37

-tel, ezért az öt szám egyike maga a

37

, mert már

2 \cdot 37 > n + 2

. Így számaink legkisebbike nem kisebb

33

-nál, legnagyobbika nem nagyobb

41

-nél.
A bal oldal

7

-tel és

13

-mal is osztható, ezek primszámok, tehát az öt szám valamelyike osztható velük. A kapott határok között

7

egyetlen többszöröse

35

13

egyetlen többese

39

, így az öt szám csak

35

36

37

38

39

lehet, ennélfogva (1a)-ból

\begin{matrix} \bar{A B} = 3 \cdot 38 / 2 = 57, A = 5, B = 7. \end{matrix}

Valóban

35 \cdot 36 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39 / 120 = 575 757

Kis István (Pécs, Zipernovszky K. Gépip. t. III. o. t.)