Kezdőlap


Feladat:	1345. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Balla Katalin , Balogh K. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Berkes I. , Bíró Ákos , Darvas Gy. , Deák J. , Dévaj Ágnes , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Erdődy Gabriella , Ferenczi Gy. , Fodor Magdolna , Forgács P. , Füves I. , Gáspár A. , Gellért J. , Herényi I. , Hoffer Anna , Huhn A. , Kóbor Gy. , Külvári I. , Laczkovich M. , Lamm P. , Lévai F. , Lippner Gy. , Loparits Éva , Major Pál , Majtényi G. , Márki L. , Molnár Ágnes , Nagy Klára , Pete L. , Racskó P. , Rosta Vera , Sarkadi-Nagy I. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Staub Klára , Surányi L. , Szalay M. , Szeidl L. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szentgáli Adám , Szörényi M. , Tényi G. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/november, 136 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Számsorozatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 1345. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük először a (6) összefüggést, amelyben csak két szomszédos tagja szerepel a sorozatnak. Itt $k$ legkisebb lehetséges értéke $2$ , ekkor az állítás igaz, a definició első része szerint. Tegyük fel, hogy igaz (6) az index valamilyen $n$ értékére, ebből a definíció második része alapján megmutatjuk, hogy igaz az $1$ -gyel nagyobb indexre is, tehát minden $k \geq 2$ egész számra igaz. A feltevés szerint

\begin{matrix} 2 a_{n - 1} = a_{n} - {(- 1)}^{n - 1} = a_{n} + {(- 1)}^{n}, \end{matrix}

ezért (1) szerint

\begin{matrix} a_{n + 1} = 2 a_{n - 1} + a_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}, \end{matrix}

(9)

ami állításunkat igazolja.
Hasonlóan (7) igaz

k = 1

esetén. És ha igaz valamilyen

n

indexre, akkor igaz

n + 1

-re is, mert (1) felhasználásával

\begin{matrix} a_{n + 1} + a_{n + 2} = a_{n + 1} + (2 a_{n} + a_{n + 1}) = 2 (a_{n} + a_{n + 1}) = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1}, \end{matrix}

tehát (7) igaz minden pozitív egész

k

-ra.
(7) és (9) felhasználásával már megadhatjuk

a_{n}

keresett kifejezését. Adjunk (9) mindkét oldalához

a_{n}

-t és alkalmazzuk a bal oldalra (7)-et:

\begin{matrix} a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n} = 3 a_{n} + {(- 1)}^{n}, amiből \\ a_{n} = \frac{2^{n} - {(- 1)}^{n}}{3} & (10) \end{matrix}

Fejezzük ki (8) bal oldalát (10) alapján (feltéve természetesen, hogy

k - 4 \geq 1

, azaz

k \geq 5

\begin{matrix} a_{k} - a_{k - 4} & = \frac{1}{3} [2^{k} - {(- 1)}^{k} - 2^{k - 4} + {(- 1)}^{k - 4}] = \frac{2^{k - 4}}{3} (2^{4} - 1) = 5 \cdot 2^{k - 4} = \\ = 10 \cdot 2^{k - 5}, \end{matrix}

ugyanis

k

és

k - 4

egyenlő párosságú számok,

(- 1)

-et ezekre a kitevőkre emelve a hatvány egyenlő. Eszerint (8) igaz

5

-től minden

k

egész számra.
Minthogy

2^{k - 5}

egész szám (és a sorozat tagjai is egész számok), azért (8) azt fejezi ki, hogy a sorozat minden tagja (

a_{5}

-től kezdve) ugyanolyan jegyre végződik, mint a

4

-gyel kisebb indexű tag. Eszerint

a_{4 j + 1}

utolsó számjegye megegyezik

a_{4 (j - 1) + 1}

a_{4 (j - 2) + 1}

...

a_{1}

utolsó jegyével, ami

1

. Hasonlóan a

4 j + 2

4 j + 3

4 j

sorszámú tagok utolsó jegye rendre egyenlő

a_{2}

a_{3}

a_{4}

utolsó jegyével.

a_{2} = 1

a_{3} = 3

a_{4} = 5

; így a jegyvégződésekre vonatkozó állítás helyes.
(2) bal oldalán az egymás utáni tagpárokat (7) alapján kifejezve

k - 1

tagú mértani sorozatot kapunk, és még az összeg utolsó tagját:

\begin{matrix} S_{2 k - 1} = (a_{1} + a_{2}) + (a_{3} + a_{4}) + ... + (a_{2 k - 3} + a_{2 k - 2}) + a_{2 k + 1} = \\ = 2 + 2^{3} + 2^{5} + ... + 2^{2 k - 3} + a_{2 k - 1} . \end{matrix}

Innen a mértani sorozat összeg-képlete, majd (10), végül (1) alkalmazásával tovább haladva az összefüggés igaznak bizonyul:

\begin{matrix} S_{2 k - 1} = 2 \cdot \frac{{(2^{2})}^{k - 1} - 1}{2^{2} - 1} + a_{2 k - 1} = 2 \cdot \frac{2^{2 k - 2} - {(- 1)}^{2 k - 2}}{3} + \\ + a_{2 k - 1} = 2 a_{2 k - 2} + a_{2 k - 1} = a_{2 k} . \end{matrix}

Hasonlóan (3) esetében,

k

tagú sorozattal:

\begin{matrix} S_{2 k} = (a_{1} + a_{2}) + (a_{3} + a_{4}) + ... + (a_{2 k - 1} + a_{2 k}) = \\ = 2 + 2^{3} + 2^{5} + ... + 2^{2 k - 1} = 2 \cdot \frac{{(2^{2})}^{k} - 1}{2^{2} - 1} = \frac{2^{2 k + 1} - 2}{3} = \\ = \frac{2^{2 k + 1} - {(- 1)}^{2 k + 1}}{3} - 1 = a_{2 k + 1} - 1, \end{matrix}

tehát (3) is helyes.
Mivel

k

és

k - 4

egyenlő párosságú, (2) és (3) felhasználásával páros és páratlan

k

-ra egyaránt

\begin{matrix} S_{k} - S_{k - 4} = a_{k + 1} - a_{k - 3}, \end{matrix}

a jobb oldal pedig (8) alapján

10 \cdot 2^{k - 4}

; a (4) összefüggés is helyes.
Végül (5) így írható:

\begin{matrix} S_{k} = \frac{2}{3} (2 k - 1), \end{matrix}

(5´)

ez nem lehet érvényes minden

k

-ra, hiszen páratlan

k

esetén

2^{k} - 1

nem osztható

3

-mal, és így

S_{k}

nem volna egész szám:

\begin{matrix} 2^{2 k + 1} - 1 = 2 \cdot 4^{k} - 1 = 4^{k} + (4^{k} - 1^{k}), \end{matrix}

ahol a második tag osztható

4 - 1 = 3

-mal, de az első nem. Páros

k

-ra azonban érvényes az állítás, mert (3) és (10) felhasználásával

\begin{matrix} S_{2 k} = a_{2 k + 1} - 1 = \frac{2^{2 k + 1} + 1}{3} - 1 = \frac{2^{2 k + 1} - 2}{3}, \end{matrix}

és ez egyenlő

(5')

jobb oldalával, ha

k

helyére mindkét oldalon

2 k

-t írunk.

Rosta Vera (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

Szentgáli Ádám (Budapest, Ady E. 12 évf. isk. II. o. t.)

Bíró Ákos (Budapest, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat utolsó előírásának megfelel az (1)-ből adódó

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n + 2} - a_{n + 1}) \end{matrix}

kifejezés is. Ennek felhasználásával

S_{k}

-ra is adhatunk a (10)-höz hasonló, minden indexre érvényes és csak az indexet tartalmazó kifejezést.

\begin{matrix} S_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} = \\ = \frac{a_{3} - a_{2}}{2} + \frac{a_{4} - a_{3}}{2} + ... + \frac{a_{k + 1} - a_{k}}{2} + \frac{a_{k + 2} - a_{k + 1}}{2} = \\ = \frac{a_{k + 2} - a_{2}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{2^{k + 2} - {(- 1)}^{k + 2}}{3} - 1) = \frac{1}{3} (2^{k + 1} - \frac{{(- 1)}^{k} + 3}{2}) = \\ = \frac{2}{3} (2^{k} - \frac{3 + {(- 1)}^{k}}{4}) . \end{matrix}

Páros

k

esetén (5) azonos ezzel, páratlan

k

esetén viszont nem, ekkor az összeg

\begin{matrix} S_{k} = \frac{2}{3} (2^{k} - \frac{1}{2}), \end{matrix}

ekkor (5) nem érvényes.