A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ismeretes, hogy a háromszögbe írt kör sugara egyenlő a hányadossal, ahol a terület, pedig a kerület fele.
Az oldallal párhuzamos érintő által lemetszett háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, így a beleírt kör sugara ugyanannyiad része -nak, mint valamelyik hosszúsági mérete megfelelő méretének. Célszerű az oldalra merőleges és magasságok arányát vennünk, mert . Másrészt , így | |
Itt helyére -t, majd -t írva a , ill. oldallal párhuzamos érintő lemetszette háromszögbe írt kör , ill. sugarát kapjuk. Így a négy kör területének összege kiemeléssel, a négyzetek kifejtésében a hasonló szerkezetű tagokat mindjárt egybefogva, továbbalakítással, végül mindent az oldalakkal kifejezve
(ugyanis a szögletes zárójel első két tagjának összege ). II. megoldás. Tovább is a fenti jelöléseket használva a arányt és kerületeinek arányából határozzuk meg. Legyenek új csúcsai , (utóbbi az -n) és érintse az , , , egyenest rendre a , , , pontban. Ekkor a -hoz a , , , és pontokból húzott érintőszakaszok egyenlősége alapján kerülete
Így , és a fentiekhez hasonló rendezési lépésekkel
Nagy Sarolta (Budapest, Hámán K. g. IV. o. t.) Megjegyzés. A és közti lineáris nagyítási arányt abból is megkaphatjuk, hogy a -re nézve külső érintő kör. oldalai , , , kerületének fele , területe pedig , így a külső érintő kör sugarára ismert kifejezés értelemszerű alkalmazásával | | Lásd pl. Kürschák J.‐Hajós Gy.‐Neukomm Gy.‐Surányi J.: Matematikai Versenytételek I, 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1965, 36. o. |