Kezdőlap


Feladat:	1338. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ács G. , Almási L. , Balla Katalin , Bárány I. , Domokos L. , Eff L. , Ferenczi Gy. , Herényi I. , Hoffer Anna , Hoffmann Gy. , Huhn A. , Kalmár T. , Kövér Á. , Lehel Cs. , Major Pál , Majtényi G. , Márki L. , Molnár Ágnes , Nagy I. , Pete L. , Racskó P. , Scsaurszky P. , Surányi L. , Szalay M. , Szász A. , Szeidl L. , Székely G. , Tényi G. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Nevező gyöktelenítése, Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 1338. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük köbre az egyenletet. A bal oldal köbét az ${(A + B)}^{3} = A^{3} + B^{3} + 3 A B (A + B)$ azonosság szerint képezve a jobb oldali zárójel helyére mindjárt beírhatjuk (1) jobb oldalát:

\begin{matrix} \frac{a + x}{2 a - x} + \frac{a - x}{2 a + x} + 3 \sqrt[3]{\frac{a^{2} - x^{2}}{4 a^{2} - x^{2}}} = 1. \end{matrix}

Átrendezéssel, újabb köbreemeléssel és rendezéssel

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{a^{2} - x^{2}}{4 a^{2} - x^{2}}} = \frac{- x^{2}}{4 a^{2} - x^{2}}, \\ a^{2} {(4 a^{2} - 3 x^{2})}^{2} = 0. & (2) \end{matrix}

Nem lehet

a = 0

, különben (1)-nek nincs megoldása, mert bal oldala

x

minden

0

-tól különböző értékére

- 2

. Ezért csak olyan

x

szám lehet gyök, amelyre (2) zárójeles kifejezése

0

. Ez a két szám:

\begin{matrix} x_{1} = 2 a / \sqrt[]{3}, x_{2} = - x_{1} . \end{matrix}

(2)-t az (1)-ből nem csupa ekvivalens átalakítással képeztük, ezért behelyettesítésével döntjük el, hogy gyöke-e (1)-nek

x_{1}

. Ezt helyettesítve a köbgyökök alatti kifejezések:

\begin{matrix} \frac{a (1 + 2 / \sqrt[]{3})}{a (2 - 2 / \sqrt[]{3})} = \frac{\sqrt[]{3} + 2}{2 (\sqrt[]{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt[]{3} + 4)}{4 (\sqrt[]{3} - 1)} = \frac{{(\sqrt[]{3} + 1)}^{2}}{4 (\sqrt[]{3} - 1)} = \frac{{(\sqrt[]{3} + 1)}^{3}}{8}, \\ \frac{a (1 - 2 / \sqrt[]{3})}{a (2 + 2 / \sqrt[]{3})} = {(\frac{1 - \sqrt[]{3}}{2})}^{3}, \end{matrix}

így (1) bal oldala

1

, tehát

x_{1}

gyöke az adott egyenletnek. Ugyanígy

x_{2}

is, mert

x

helyett

- x

-et írva a két köbgyök alatti kifejezés egymásba megy át.

Major Pál (Budapest, Bláthy O. erősáramú ip. t. III. o. t.)