Feladat: 1333. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Balla Katalin ,  Balogh K. ,  Baróti D. ,  Berghold Zsuzsanna ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Elekes Gy. ,  Forgács P. ,  Hoffer Anna ,  Jakab M. ,  Juhász F. ,  Kóbor Gy. ,  Korchmáros G. ,  Lévai F. ,  Lóczy I. ,  Majtényi G. ,  Márki L. ,  Molnár Ágnes ,  Nagy Klára ,  Nagy Sarolta ,  Pete L. ,  Racskó P. ,  Recski A. ,  Scsaurszky P. ,  Simig Gy. ,  Surányi L. ,  Szántó O. ,  Szemkeő Judit ,  Szörényi M. ,  Tényi G. ,  Tóth Szabolcs ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/szeptember, 19 - 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 1333. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott KLMN négyzet területe t, a szakasz hossza 2s, a szög α.
Ismeretes, hogy t/s megadja a háromszögbe írható kör sugarát; ennek alapján megszerkeszthetjük a keresett háromszög k beírt körét, pl. a következő lépésekben. Mérjük rá s-et az NM félegyenesre N-től, legyen a végpont P, messe a KP egyenes LM-t Q-ban, ekkor LQ=ϱ. Rakjuk fel az LKR=α szöget és szerkesszük meg f felező félegyenesét. Messe f-et a KL-lel párhuzamos, Q-n átmenő egyenes O-ban, ekkor az O körüli, KL-t érintő kör k.

 
 

Ismeretes másrészt, hogy a háromszög két oldalának meghosszabbítását és harmadik oldalát kívülről érintő körnek a meghosszabbításokon levő érintési pontjai s távolságra vannak a harmadik oldallal szemben levő csúcstól. Ennek alapján megszerkeszthetjük az α-val szemben fekvő a oldalt kívülről érintő ka kört: felmérve KL-re KS=s-et, az S-ben KL-re állított merőleges f-ből kimetszi ka középpontját, Oa-t, sugara pedig OaS. ‐ Most már az a oldal egyenese k és ka közös belső érintője.
Az a egyenessel és α száraival meghatározott háromszög megfelel a követelménynek. Ugyanis egyik szöge az adott α; továbbá az a oldalt a ka-val való T érintkezési pont olyan két darabra osztja, melyek egyenlők a nem közös végpontjukból ka-hoz húzható másik érintővel, vagyis a szomszédos oldalhoz adva s-et adnak, így a három oldal összege 2s. Végül a háromszög területe sϱ=t, hiszen ϱ-t éppen így szerkesztettük.
Két megoldás van, ha k-nak és ka-nak nincs közös pontja, ezek azonban egymás tükörképei f-re; egy megoldás, ha k és ka érintik egymást (csak külső érintkezésről lehet szó, mert k és ka különböző pontban érintik a KL szárt), és nincs megoldás, ha k és ka metszik egymást.
Az olvasóra hagyjuk a megoldhatóság olyan feltételének megállapítását, amely egy a t, 2s és α közti összefüggést használ fel.
 
Szemkeő Judit (Budapest, Ságvári E. gyak. g. IV. o. t.)

 
Megjegyzés. Több olyan megoldás érkezett, amely a háromszög egyes alkotórészeit az adatokból számítással állapítja meg. Ezekben az elemzés, a végrehajtás, a bizonyítás és a diszkusszió lépései mind bonyolultabbak a fentinél.