|
Feladat: |
1333. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arányi P. , Balla Katalin , Balogh K. , Baróti D. , Berghold Zsuzsanna , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Elekes Gy. , Forgács P. , Hoffer Anna , Jakab M. , Juhász F. , Kóbor Gy. , Korchmáros G. , Lévai F. , Lóczy I. , Majtényi G. , Márki L. , Molnár Ágnes , Nagy Klára , Nagy Sarolta , Pete L. , Racskó P. , Recski A. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Surányi L. , Szántó O. , Szemkeő Judit , Szörényi M. , Tényi G. , Tóth Szabolcs , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1965/szeptember,
19 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Körérintési szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/szeptember: 1333. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az adott négyzet területe , a szakasz hossza , a szög . Ismeretes, hogy megadja a háromszögbe írható kör sugarát; ennek alapján megszerkeszthetjük a keresett háromszög beírt körét, pl. a következő lépésekben. Mérjük rá -et az félegyenesre -től, legyen a végpont , messe a egyenes -t -ban, ekkor . Rakjuk fel az szöget és szerkesszük meg felező félegyenesét. Messe -et a -lel párhuzamos, -n átmenő egyenes -ban, ekkor az körüli, -t érintő kör .
Ismeretes másrészt, hogy a háromszög két oldalának meghosszabbítását és harmadik oldalát kívülről érintő körnek a meghosszabbításokon levő érintési pontjai távolságra vannak a harmadik oldallal szemben levő csúcstól. Ennek alapján megszerkeszthetjük az -val szemben fekvő oldalt kívülről érintő kört: felmérve -re -et, az -ben -re állított merőleges -ből kimetszi középpontját, -t, sugara pedig . ‐ Most már az oldal egyenese és közös belső érintője. Az egyenessel és száraival meghatározott háromszög megfelel a követelménynek. Ugyanis egyik szöge az adott ; továbbá az oldalt a -val való érintkezési pont olyan két darabra osztja, melyek egyenlők a nem közös végpontjukból -hoz húzható másik érintővel, vagyis a szomszédos oldalhoz adva -et adnak, így a három oldal összege . Végül a háromszög területe , hiszen -t éppen így szerkesztettük. Két megoldás van, ha -nak és -nak nincs közös pontja, ezek azonban egymás tükörképei -re; egy megoldás, ha és érintik egymást (csak külső érintkezésről lehet szó, mert és különböző pontban érintik a szárt), és nincs megoldás, ha és metszik egymást. Az olvasóra hagyjuk a megoldhatóság olyan feltételének megállapítását, amely egy a , és közti összefüggést használ fel.
Szemkeő Judit (Budapest, Ságvári E. gyak. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Több olyan megoldás érkezett, amely a háromszög egyes alkotórészeit az adatokból számítással állapítja meg. Ezekben az elemzés, a végrehajtás, a bizonyítás és a diszkusszió lépései mind bonyolultabbak a fentinél. |
|