Kezdőlap


Feladat:	1332. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Etényi Géza
Füzet:	1965/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Exponenciális egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1332. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$4^{x} = y$ helyettesítéssel a nevezők $y$ polinomjai és minden $y > 0$ értékre értelmezve vannak. Az $y^{2} - 7 y + 12$ második nevező 0-helyei, $y_{1} = 3$ és $y_{2} = 4$ , az értelmezési tartományban vannak, a második nevező szorzat alakban $(y - 3) (y - 4)$ .
A közös nevezőre hozás céljára megvizsgáljuk, osztója-e az $N = y^{3} - 13 y^{2} + 51 y - 60$ első nevezőnek $y - 3$ és $y - 4$ . Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha $N$ értéke $y = 3$ , ill. $y = 4$ esetén 0. Mármost $y = 3$ esetén $N = 3$ , így $N$ nem osztható $y - 3$ -mal, $y = 4$ esetén viszont $N = 0$ , így $N$ -ből kiemelhető az $y - 4$ tényező. Valóban

\begin{matrix} N = (y^{3} - 4 y^{2}) - (9 y^{2} - 36 y) + (15 y - 60) = (y - 4) (y^{2} - 9 y + 15), \end{matrix}

így a helyettesítés után (1) bal oldalának közös nevezője

\begin{matrix} (y - 3) (y - 4) (y^{2} - 9 y + 15) . \end{matrix}

(1) nincs értelmezve, ha valamelyik nevező 0, vagyis a következő esetekben:

\begin{matrix} y = 4^{x} = 3, 4, 4, 5 \pm \sqrt[]{5, 25}; \end{matrix}

az utolsó két érték is pozitív, beletartozik a nevezők értelmezési tartományába, ezért további vizsgálatunkból mind a négy értéket kizárjuk. Ezek szerint (1) így alakul:

\begin{matrix} \frac{1}{y^{3} - 13 y^{2} + 51 y - 60} + \frac{1}{y^{2} - 7 y + 12} = \frac{1}{(y - 4) (y^{2} - 9 y + 15)} + & (2) \\ + \frac{1}{(y - 3) (y - 4)} = \frac{(y - 3) + (y^{2} - 9 y + 15)}{(y - 3) (y - 4) (y^{2} - 9 y + 15)} = \\ = \frac{y^{2} - 8 y + 12}{(y - 3) (y - 4) (y^{2} - 9 y + 15)} = 0. \end{matrix}

A számláló 0 az

y_{1} = 2

és

y_{2} = 6

helyeken, ezeken a helyeken (2) értelmezve van, tehát ezek az átalakított egyenlet gyökei. Az eredeti egyenlet gyökei pedig

\begin{matrix} \begin{matrix} 4^{x} = 2-ből & x_{1} =^{4} log 2 = 0, 5, \\ 4^{x} = 6-ból & x_{2} =^{4} log 6 = \frac{lg 6}{lg 4} \approx \frac{0, 7782}{0, 6021} \approx 1, 292. \end{matrix} \end{matrix}

Etényi Géza (Aszód, Petőfi S. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Számos dolgozat a két nevező szorzatát vette közös nevezőnek, így az összevonás után a számláló

(y - 4) (y^{2} - 8 y + 12)

lett. Az

y = 4

gyököt azonban nem zárták ki.