Kezdőlap


Feladat:	1331. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány Imre
Füzet:	1966/március, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Azonosságok, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1331. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f = 1$ , $g = 2$ , $h = - 2$ , $k = - 1$ számnégyesből kiindulva

\begin{matrix} u = 27, t = - 99, p = 63, q = - 225, r = 153, s = 117, \end{matrix}

és így

x = - 162

y = 288

z = 36

. Az utolsó három szám köbösszege

19 683 000 = 270^{3}

, és itt 270 egyenlő az

r

-re és

s

-re adódott értékek összegével.
Hasonlóan az

f = - 1

g = 1

h = 1

k = 0

négyesből

r = 5

s = - 12

;

x = - 20

y = 14

és

z = 17

, így

x^{3} + y^{3} + z^{3} = {(- 7)}^{3}

, és ismét

- 7 = 5 - 12

.
E két példából a következő egyenlőséget sejtjük:

\begin{matrix} {(p + q)}^{3} + {(p - q)}^{3} + {(r - s)}^{3} = {(r + s)}^{3} . \end{matrix}

(1)

Ezt fogjuk bebizonyítani annak belátásával, hogy a bal és jobb oldal

K

különbsége 0. Evégett

K

-ból az adott képletek alapján egymás után kiküszöböljük

q

-t és

r

-et, majd

p

-t és

s

-et.
A zárójelek felbontása, összevonás és új kiemelések után a különbség így alakul

\begin{matrix} K & = [{(p + q)}^{3} + {(p - q)}^{3}] - [{(r + s)}^{3} - {(r - s)}^{3}] = \\ = 2 p (p^{2} + 3 q^{2}) - 2 s (s^{2} + 3 r^{2}) . \end{matrix}

Az első zárójeles kifejezést képezve a négyzetek kétszeres szorzataiból adódó két tag összege 0, és a maradó kifejezés szorzattá alakítható:

\begin{matrix} p^{2} + 3 q^{2} & = f^{2} t^{2} + 9 q^{2} u^{2} + 3 g^{2} t^{2} + 3 f^{2} u^{2} = \\ = (f^{2} + 3 g^{2}) (t^{2} + 3 u^{2}); ugyanígy \\ s^{2} + 3 r^{2} & = (h^{2} + 3 k^{2}) (t^{2} + 3 u^{2}), ezért \\ K = 2 (t^{2} & + 3 u^{2}) [p (f^{2} + 3 g^{2}) - s (h^{2} + 3 k^{2})] . \end{matrix}

Sejtésünk igazolására elég lesz megmutatnunk, hogy a szögletes zárójelbeli

L

kifejezés értéke mindig 0.
Célszerű egybetűs jelölést bevezetni az

L

-beli zárójeles kifejezésekre, mert ezek

u

-ban és

t

-ben is fellépnek. Legyen

f^{2} + 3 g^{2} = A

h^{2} + 3 k^{2} = B

, így

p

és

s

kiküszöbölésével és a tagok átcsoportosításával

\begin{matrix} L & = p A - s B = (f t + 3 g u) A - (h t + 3 k u) B = \\ = t (f A - h B) - u (3 k B - 3 g A) . \end{matrix}

Az első zárójelben

u

áll, a másodikban pedig

t

, így valóban

L = 0

.
Minthogy

f

g

h

k

egész számok, ugyanez áll

u

-ra,

t

-re;

r

-re,

s

-re, ennélfogva (1) jobb oldalán

r + s

egész szám. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Természetesen

x

y

z

is mindig egész számok.

Bárány Imre (Budapest-Mátyásföld, Corvin M.G.)

Több megoldás nem érkezett. Az eredeti kitűzés hibás voltára viszont többen rámutattak.