Kezdőlap


Feladat:	1330. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Surányi László
Füzet:	1965/szeptember, 17 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Valós együtthatós polinomok, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1330. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A polinom alakoknak az $x$ -et páratlan kitevővel tartalmazó tagjai $0$ együtthatóval kell hogy szerepeljenek a szorzatban. Ez a feltétel egyenletrendszert szolgáltat a keresett együtthatókra. Ezt felírva az $5$ -öd, $3$ -ad és elsőfokú tag együtthatójára:

\begin{matrix} - 1 + p = 0, 2 - 6 p - q + r = 0, 2 q - 6 r = 0. \end{matrix}

Innen

p = 1

, majd

q = - 6

és

r = - 2

, végül (1) második tényezője és a szorzat polinom alakja:

\begin{matrix} x^{3} + x^{2} - 6 x - 2, ill. x^{6} - 13 x^{4} + 40 x^{2} - 4. \end{matrix}

(2) esetében hasonlóan a következő rendszert kell megoldanunk:

\begin{matrix} c + p = 0, \\ e + d p + c q + r = 0, & (3) \\ f p + e q + d r + c s = 0, & (4) \\ f r + e s = 0. & (5) \end{matrix}

Mindenesetre

p = - c

;

r

-et (3) alapján kiküszöbölve

q

-ra és

s

-re teljesülnie kell az

\begin{matrix} (e - c d) q + c s = c f - c d^{2} + d e & (4a) \\ - c f q + e s = - c d f + e f & (5a) \end{matrix}

rendszernek. Vonjuk ki (5a)

c

-szeresét (4a)

e

-szereséből:

\begin{matrix} (c^{2} f - c d e + e^{2}) q = (c^{2} f - c d e + e^{2}) d . \end{matrix}

(6)

Tekintsük először azt az esetet, ha

\begin{matrix} c^{2} f - c d e + e^{2} = K \end{matrix}

(7)

értéke nem

0

. Ekkor a (4a), (5a) rendszer egyértelműen megoldható:

q = d

, továbbá

s = f

(ugyanis

s

együtthatói,

c

és

e

közül legalább az egyik nem

0

, különben

K = 0

állna fenn). Ezekkel (3)-ból

r = - e

, és így (2) második tényezője, ill. polinom alakja

\begin{matrix} g (x) = x^{4} - c x^{3} + d x^{2} - e x + f, & (8) \\ x^{8} + (2 d - c^{2}) x^{6} + (d^{2} - 2 c e + 2 f) x^{4} + (2 d f - e^{2}) x^{2} + f^{2} . \end{matrix}

K = 0

, akkor

c \neq 0

esetén (4a)-ból, majd (3)-ból

\begin{matrix} s = f - d^{2} + \frac{d e}{c} + (d - \frac{e}{c}) q = f + (d - \frac{e}{c}) (q - d), \\ r = - e - c (q - d) . & (9) \end{matrix}

(8) felhasználásával (2) második tényezője így írható:

\begin{matrix} g_{1} (x) = g (x) + (q - d) (x^{2} - c x + d - \frac{e}{c}), \end{matrix}

akármi is

q

, és könnyen ellenőrizhető, hogy (2) kifejtése ebben az esetben is

x

-nek csak páros hatványait tartalmazza.
Ha pedig

K = 0

és

c = 0

, akkor ezekből

e = 0

és

p = 0

, így a (3) ‐ (5) feltételi egyenletekben nem lép fel

s

, tehát

s

értéke is tetszés szerinti, másrészt (3)-ból

r = 0

. Erre az esetre (2) így alakul:

\begin{matrix} (x^{4} + d x^{2} + f) (x^{4} + q x^{2} + s), \end{matrix}

már ebben az alakban sem lép fel

x

páratlan kitevős hatványa.

Surányi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Az egyes tényezők páros és páratlan tagjait különválasztva könnyű különválasztani a szorzat páros és páratlan tagjait is. Az első esetben

\begin{matrix} [x (x^{2} - 6) - (x^{2} - 2)] [x (x^{2} + q) + (p x^{2} + r)] = x^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + q) - \\ - (x^{2} - 2) (p x^{2} + r) + x {(x^{2} - 6) (p x^{2} + r) - (x^{2} - 2) (x^{2} + q)} . \end{matrix}

Itt a kapcsos zárójelben összevonáskor minden tagnak ki kell esnie, így

x

minden értékére is el kell tűnnie a polinomnak. Az

x^{2}

helyére

0

-t,

2

-t és

6

-ot téve könnyen kiszámítható

p

q

r

.
A második szorzatból hasonlóan az adódik, hogy

\begin{matrix} (c x^{2} + e) (x^{4} + q x^{2} + s) + (x^{4} + d x^{2} + f) (p x^{2} + r) \end{matrix}

kell hogy azonosan

0

legyen. Itt kézenfekvő

x^{2}

helyébe többek közt

- e / c

-t helyettesíteni. Ekkor a második szorzat első tényezője

e^{2} / c^{2} - d e / c + f = (e^{2} - c d e + c^{2} f) / c^{2}

, ami rávilágít e kifejezés eltűnésének a szerepére a feladat megoldásában.