|
Feladat: |
1328. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Deák I. , Ferenczi Gy. , Ferenczi M. , Gyenes G. , Huhn A. , Kiss Katalin , Lovász L. , Márki L. , Nagy Klára , Pelikán J. , Siket Aranka , Sükösd Cs. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szép A. , Sövényházy Mária , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1965/május,
211 - 213. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térfogat, Szabályos sokszögek által határolt testek, Poliéderek szimmetriái, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/május: 1328. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Építsük fel gondolatban a test modelljét a lapokat az előírt rendben egymás mellé illesztve. A test összes élei egyenlők, mert minden lapja egyenlő oldalú idom, legyen a közös hosszuk . Legyenek az nyolcszöglap egymás utáni csúcsai az indexek növekedő rendjében, az oldalhoz csatlakozó háromszöglap harmadik csúcsa (a -nál nagyobbnak adódó indexek mindig -cal csökkentve értendők), továbbá a és közé illeszkedő rombusz . Így az és közé illeszkedő második háromszöglap , és a csúcsok az indexek növekedő rendjében az nyolcszöglap egymás utáni csúcsai.
Megmutatjuk, hogy az és középpontját összekötő tengely körül forgásokkal a test önmagával fedésbe jut, és a tengely felezőpontja a test középpontja. Az él felező merőleges síkján van, és ezen van is, mert szabályos volta miatt az élt is merőlegesen felezi. és ugyanígy a és élek közös felező merőleges síkjának is pontjai, így pedig e két sík azonos, mert mindkettő merőleges és síkjára, és a egyenesen át csak egy merőleges sík állítható rájuk. és síkját alapsíknak fogjuk nevezni. (Itt felhasználtuk, hogy és különböző pontok, és hogy összekötő egyenesük nem merőleges az alapsíkra; valóban, -t és -et alapélük körül forgatva és (-beli) pályájának nincs közös pontja, mert két párhuzamos oldalának távolsága , és ennek fele nagyobb a oldalú szabályos háromszög magasságánál, -nél.) Az eddigiekből az is adódik, hogy , és hogy ugyanazon az oldalán van -nek, mint . Tekintsük most az 1-gyel nagyobb indexű pontokból ugyanígy adódó síknak -vel való metszésvonalát (ami létezik, mert nem párhuzamos -gyel). merőleges az alapsíkokra, és azokkal való , ill. metszéspontja az illető lap középpontja. Ugyanis pl. annak a két egyenesnek a közös pontja, amelyeket , metsz ki az alapsíkból, ezek mindegyike szimmetriatengelye -nek, és két szimmetriatengely a szabályos sokszög középpontjában metszi egymást. Legyen felezőpontja , -é , így téglalap, mert -nél és -nél derékszöge van, és a nyolcszögek egybevágósága miatt , ezért , továbbá is téglalap, tehát . Ezek szerint -nek átlója párhuzamos az alapsíkokkal, mert merőlegesen felezi az átlót, és így minden benne van felező merőleges síkjában. A rombuszok középpontjai (ebben a síkban) egy az -vel egybevágó nyolcszöget alkotnak, oldalaik páronként párhuzamosak; legyen középpontja . Így felezi a szöget, másrészt , ezért merőleges -re, és , a csúcsok egy szabályos nyolcszög csúcsai, valóban a test középpontja, és minden olyan forgatással és tükrözéssel önmagával fedésbe jut, amely -t és -t önmagába viszi át. Ebből következik, hogy egyrészt az és csúcsok, másrészt a -k egy-egy középpontú gömb felületén vannak, és ezek sugarainak nagyobbika adja a testet magába záró legkisebb gömb keresett sugarát.
II. A szakasz felező pontját -lel jelölve az , az , a , végül az derékszögű háromszögből
Az utóbbi nagyobb, mint , ezért a testet magába záró legkisebb gömb sugara .
III. A testet az és megfelelő oldalain átmenő síkokkal 8 egybevágó gúlára és egy alapú hasábra darabolhatjuk. A gúla térfogata , ahol , ez egyszersmind a hasáb magassága, így ismert területképlete alapján a test térfogata | |
Szemkeő Judit (Budapest, Ságvári E. gyak. g. III. o. t.) dolgozata, bizonyítással kiegészítve.
|
|