|
Feladat: |
1325. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balla Katalin , Bódi Z. , Bóta K. , Deák I. , Dévaj Ágnes , Ferenczi Gy. , Ferenczi M. , Horváth J. (Esztergom) , Huhn A. , Kersner Róbert , Kiss Katalin , Lovász L. , Lovász László , Márki L. , Mátrai M. , Nagy Klára , Patkós A. , Pelikán J. , Racskó P. , Siket Aranka , Simonovits András , Sükösd Cs. , Szabó M. , Székely G. , Szemkeő Judit , Sövényházy Mária , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1965/május,
207 - 208. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ellipszis egyenlete, Hiperbola egyenlete, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/május: 1325. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az idézett szerkesztést tekinthetjük az egyenletével adott ellipszis egy pontja ordinátájának szerkesztésére szolgáló eljárásnak is, ha adott a pont abszcisszája, vagy az abszcissza szerkesztésére szolgálónak adott ordináta esetében. Ha ugyanis a használt félegyenest az , ill. a sugarú körön levő pontjával jelöljük ki, ezzel megválasztottuk a szerkesztendő pont abszcisszáját, ill. ordinátáját. Hasonlóan kétféle kiindulással értelmezzük az egyenletű hiperbola pontjai szerkesztésének feladatát. A bemutatandó eljárás abban hasonlít az idézetthez, hogy körzőt csak az első pont szerkesztésében használ, a további pontok szerkesztése derékszögű háromszögű vonalzó-pár használatával végezhető (feltéve, hogy megengedjük párhuzamos, ill. merőleges egyenes rajzolását csúsztatással, ill. átforgatással, amint ez az idézett eljárásban is szokásos). A hiperbola szimmetrikus a két tengelyre, ezért csak I. síknegyedbeli pontokra gondolunk, más szóval nem leszünk tekintettel a hiperbola tengelyeinek mint koordinátatengelyeknek az irányítására.
Előkészítésül megrajzoljuk az origó körüli sugarú kört (hiperbolánk főkörét) és azt az egyenest, amely merőleges az -tengelyre és azt -tól távolságban metszi (a szakasz az és szakaszokból alapján megszerkeszthető). Adottnak tekintve a keresett hiperbolapont ordinátáját, magát a pontot a következő lépésekkel kaphatjuk: 1. -re az -tengelybeli pontjától felmérjük -et és a végponton át merőlegest állítunk -re; megrajzoljuk: 2. az félegyenest, legyen a -val való metszéspontja ; 3. -nak -beli érintőjét, legyen az -tengellyel való metszéspontja , végül 4. az -en átmenő és az -re merőleges egyenest; ennek a egyenessel való metszéspontja a keresett . Megmutatjuk, hogy -nek abszcisszája egyenlő a hiperbola egyenlete alapján az ordinátából számítható értékkel. Messe az -tengely pozitív fele -t -ben, -t -ban és -nak -beli érintője -t -ben. Ekkor és egybevágó háromszögek, pedig hasonló hozzájuk, így | | amit bizonyítani akartunk. Fordítva, ha abszcisszája adott, azt az -tengelyre felmérve kapjuk -et, ebben merőlegest állítunk -re, másrészt -ből érintőt rajzolunk -hoz, az érintési pontot -val összekötő egyenesen megkeressük az -vel való metszéspontját, végül az ezen át az -tengellyel párhuzamosan húzott egyenessel -ből kimetsszük -t. Eljárásainkat tekinthetjük a hiperbola (ill. az ellipszis) és valamelyik tengelyével párhuzamos egyenes metszéspontjai megszerkesztésének is.
Lovász László (Budapest, Fazekas M. G.)
Megjegyzések. 1. Az eljárás helyességét könnyen igazolhatjuk úgy is, hogy -et és -t a szöggel fejezzük ki.
Kersner Róbert (Ajka, Bródy I. g. III. o. t.)
2. Több dolgozat körzővel vitte át az szakaszt -be vagy fordítva. Így helyett az -tengelytől távolságra levő egyenes rajzolandó meg. A fenti eljárás -nek -be való átvitelét ügyesen végzi el a körző mellőzésével, a fordított eljárásban viszont az érintőnek a vonalzó puszta odaillesztésével való megrajzolása a gyakorlatban hibákra vezethet. |
|