^{${}^{*}$}
Egy halom esetén egyetlen vesztő állás az, amelyben egyetlen kő áll az asztalon, jelöljük így: $\left(1\right)$; a soron következő kénytelen ezt elvenni, és veszt. Azok az állások, amelyekből az $\left(1\right)$ végző vesztő állás előállítható, más szóval a végző megnyerhető állások csak $(1$, $a)$ és $\left(b\right)$ típusúak lehetnek, ahol $a\ge 1$ és $b\ge 2$. Ilyen állás visszahagyására kell kényszerítenünk ellenfelünket utolsó előtti lépésében, az ő ezen lépése előtti állásnak viszont $(1$, $a)$-tól és $\left(b\right)$-től különbözőnek kellett lennie, különben mi vesztünk. Így az állás típusa nem lehetett más, mint vagy $(1$, $a$, $c)$, ahol $c\ge 1$, vagy $(d$, $a)$, ahol $d\ge 2$, ilyenkor azonban nem lehet $a=1$. Az utóbbi típus adódik $\left(b\right)$-ből is $(b$, $e)$ alakban, ahol $e\ge 2$.
Azonban ilyen típusú állásból csak akkor kényszerül az ellenfél nekünk megnyerhető állás előállítására, ha $c$ és $d$ nem nagyobb a legkisebb lehetséges értéknél, vagyis ha $(1$, $a$, $c)$-ben $c=1$, és emiatt egyszersmind $a=1$, ill. ha $(d$, $a)$-ban $d=a=2$; különben ugyanis kevesebbet is vehet el. Csak az $(1$, $1$, $1)$ és a $(2$, $2)$ állások biztosítják, hogy az ellenfél két lépésben veszít.
Innen adódik, hogy $(e$, $e)$ minden $e>2$ esetén is vesztő állás. Ha ugyanis az ellenfél az egyik halmot kiüríti, akkor mi a másikból $1$ követ hagyunk; ha ő hagy $1$-et, mi ürítjük ki a másikat, ha pedig $1$-nél többet hagy, mi ugyanannyira csökkentjük a másik halmot, tehát vagy már a 2. lépesében veszt a partner, vagy legkésőbben a $(2$, $2)$ állásból. ‐ Más két halmos vesztő állás nincs, ti. $(e$, $f)$ típusú, ahol $f>e\ge 2$, mert ebből az ellenfél állíthat elő $(e$, $e)$ típusú, számunkra vesztő állást.
Az $(e$, $e)$ az eredeti játékmódban is vesztő állás, minden $e$ esetén, és ott sincs más két halmos vesztő állás. Eszerint két halmos vesztő állások csak azok az állások, amelyek a nim eredeti játékmódja szerint azok, kivéve közülük az $(1$, $1)$-et.
Az $(1$, $1$, $1)$ legkisebb összegű három halmos vesztő állás (vesztő trió) utáni legkisebb összegű vesztő trió $(1$, $2$, $3)$, összege $6$, ugyanis a $4$ és $5$ összegűek megnyerhetők: $(1$, $1$, $2)$-ből az $(1$, $1$, $1)$ állítható elő, és $(1$, $1$, $3)$-ból is, $(1$, $2$, $2)$-ből pedig a $(2$, $2)$; másrészt az $(1$, $2$, $3)$ vesztő trió, mert ha nem üríti ki azt a halmot, amelyből elvesz, akkor legalább $4$ kő marad, amit most láttunk, ha pedig kiüríti, akkor $(0$, $2$, $3)$-ból a $(2$, $2)$ állítható elő, különben pedig az $\left(1\right)$ vesztő állás. ‐ Az $(1$, $2$, $3)$ ugyancsak vesztő trió az eredeti játékmód esetén is.
Megmutatjuk, hogy minden az eredeti játékmód szerinti vesztő trió a módosítás stratégiájában is vesztő trió. Tudjuk, hogy ha egy eredeti vesztő trióban van $1$ kőből álló halom, akkor az $(1$, $2k$, $2k+1)$ típusú. Ebből már csak a $k>1$ esetet kell tekintenünk. Ha ebből ellenfelünk az $1$-es halmot veszi el, mi $(2k$, $2k)$-t állítunk elő; ha a másik két halom bármelyikéből $2$-nél kevesebb követ hagy, akkor $\left(1\right)$-et vagy $(1$, $1$, $1)$-et, ha pedig legalább $2$ követ hagy, akkor mi a másik nagy halomban $1$-gyel több, ill. kevesebb követ hagyunk aszerint, hogy ő páros vagy páratlan számú követ hagyott vissza, és így $(1$, $2m$, $2m+1)$ alakú állást (ahol $1\le m<k$), azaz eredeti vesztő állást hagyunk ellenfelünkre.
Már csak azok az eredeti vesztő triók vannak hátra, amelyekben mindegyik halomban legalább $2$ kő van. Tudjuk, hogy ilyennek minden halmában különböző számú kő van, így sem az $\left(1\right)$, sem az $(1$, $1$, $1)$, sem $(e$, $e)$ nem állítható elő belőle, ezért ellenfelünk bármely lépésére az eredeti stratégia szerinti lépéssel válaszolunk.
Stratégiánk csak akkor használható, ha a kiindulási állás vesztő állás és a partner kezd, vagy pedig ha a kiindulási állás megnyerhető és mi kezdünk, (végül, ha a partner hibáz).
Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. G.)
Surányi László (Budapest, Fazekas M. Gyak. G.)