Feladat: 1320. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bóta K. ,  Deák I. ,  Ferenczi M. ,  Hoffer Anna ,  Horányi S. ,  Huhn András ,  Kersner R. ,  Kövér Á. ,  Lux I. ,  Márki L. ,  Simonovits András ,  Szántó O. ,  Szemkeő Judit ,  Szendrődi Annamária ,  Szép A. ,  Treer Mária ,  Veres F. 
Füzet: 1966/március, 101 - 104. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térbeli ponthalmazok távolsága, Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/április: 1320. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdés ,,elég'' szava minden egyes n értékhez a legkisebb olyan dn átmérő meghatározását kívánja, amelyre a dn átmérőjű gömb felületén még elhelyezhető n pont úgy, hogy ne zavarják egymást. A megadandó dn értékek közül csak néhányról fogjuk megmutatni, hogy azok valóban a legkisebb megfelelő értékek, a további esetekben csak néhány kínálkozó pontelrendezés közül választjuk ki a legkisebb gömbön elhelyezhetőt, túl terjedelmes bizonyítások és diszkussziók elkerülése végett.

 
 

n=2. Két pont az 1 átmérőjű gömbön 1 távolságra van, ha átellenes pontok, kisebb gömbön pedig mindig 1-nél kisebb távolságra van, tehát d2=1.
 
n=3. A 3 ponton átmenő sík a gömbből kört metsz ki. A gömb átmérője legalább akkora, mint ezé a köré, így d3 annak a legkisebb gömbnek is átmérője, amelyen még elhelyezhető 3 pont úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább 1 legyen. Minden ebbe a körbe írt, legalább 1 hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög egyik oldala éppen 1 hosszúságú, mert különben ez a kör kicsinyítésével volna elérhető. Az egységnyi oldal fölé írt egyenlő szárú háromszög szárai nagyobbak más háromszögben az egységnyi oldallal szomszédos kisebb oldalnál, így biztosan megfelel a feltételeknek, és az e köré írt kör akkor a legkisebb, ha a szárak is egységnyiek, vagyis a háromszög szabályos. Az e köré írt kör átmérője: d3=2/31,155.
 
n=4. Lehet mind a 4 pont egy síkban, s így a gömb egy körén, vagy 3 egy körön, a negyedik nem ezen a körön. Az első esetben az előzőkhöz hasonlóan látható, hogy a kör legkisebb, ha a pontok egy beleírt egységnyi oldalú négyzet csúcsai; ekkor átmérője 2 és ez egyben a kört tartalmazó legkisebb gömbfelület átmérője is.
Ha a 4 pont nincs egy síkban, akkor jelöljük valamelyik 3 pont, mondjuk P1, P2, P3 síkja által kimetszett k kör sugarát ϱ-val. A P4 pont távolsága P1 és P2 valamelyikétől nem nagyobb, mint a P1, P2, P4-en átmenő körben a P1P2-re merőleges átmérőn a húrtól távolabbi végpont, R távolsága. R-nek P1 től való távolsága ismét nem nagyobb, mint a P1 en, R-en és a P1-gyel a k körben átellenes P'1 ponton átmenő körben a P1P'1-re merőleges átmérő távolabbi S végpontjának távolsága P1-től; ez viszont nem nagyobb, mint a P1P'1 főkörben a P1P'1-re merőleges átmérő távolabbi T végpontjának távolsága P1-től (vagy a k kör bármely pontjától).
Ha tehát P1, P2, P3, P4 nem zavarja egymást, akkor P1, P2, P3, T sem. Az ezeken átmenő gömb átmérője, adott ϱ mellett, akkor a legkisebb, ha T távolsága a másik három ponttól legkisebb, tehát 1. Ekkor, a gömb sugarát r-rel jelölve, T távolságát pedig a ϱ sugarú körtől m-mel:
r2=ϱ2+(m-r)2,innen2r=ϱ2+m2m=TP32TP32-ϱ2=11-ϱ2.


Ez akkor a legkisebb, ha ϱ a lehető legkisebb. Mivel a k körbe háromszög írható 1-nél nem kisebb oldalakkal, így az n=3 esetből tudjuk, hogy ϱ minimális értéke 1/3. Így 2r minimális értéke
d4=321,225.


(Ez valóban kisebb az első esetben adódott 2 értéknél.) A négy pont ekkor egy szabályos tetraéder négy csúcsa.
 
n=5 esetben, ha az összes pont egy síkban van, akkor az egységnyi oldalú szabályos ötszög köré írt kör átmérője, 1/sin36 adódik a legkisebb gömbátmérőnek. Ha a pontok nincsenek egy síkban, akkor van köztük 3, amelyek síkja a másik 2 pontot elválasztja. Ez könnyen látható, ha nincs 4 pont egy síkban, ha pedig 4 egy síkban van, akkor közülük kettőn, amelyek a gömbből kivágott körön elválasztják a másik kettőt, továbbá az ötödik ponton átmenő sík megfelel a kívánt feltételnek. Az n=4 esetben követett gondolatmenethez hasonlóan látható be ismét, hogy egymást nem zavaró pontötösból újra ilyent kapunk, ha az elválasztó síkon kívül levő két pontot a síkra merőleges átmérő végpontjaival helyettesítjük. Egy ilyen pontötöst tartalmazó gömb sugara pedig akkor a legkisebb, ha a sík a gömböt főkörben metszi, és ennek pontjai az átmérő végpontjaitól egységnyi távolságra vannak. Az átmérő végpontjai és a főkörön levő bármelyik pont egyenlő szárú derékszögű háromszöget alkot, s így a gömb átmérője 2=1/sin45<1/sin36; tehát d5=21,414. A főkörön levő pontok választásában csak annyi megkötésünk van, hogy bármelyik két pont közti kisebb ív legalább negyedkör legyen. Ha két csatlakozó negyedkör összesen 3 végpontját vesszük, akkor egy szabályos négyoldalú gúlát kapunk, amelynek minden éle egységnyi.
 
 

n=6-ra áttérve ‐ az eddigiekkel ellentétben ‐ nem növekszik a legkisebb átmérő értéke, mert az előbb említett gúla csúcsát az alapnégyzetre tükrözve a 2 átmérőjű gömbbe írt szabályos oktaédert kapunk, csupa egységnyi éllel. 5 vagy 6 pontot helyezve egy síkba, nagyobb (1/sin36, ill. 2) átmérőjű gömb adódik. Így d6=d5=2 Ennél kisebb átmérő nem adódhat, hiszen a 6 pont közül bármelyik 5 sem zavarja egymást, tehát d6d5.
 

n=8 esetén elsőnek az egységnyi élű kocka csúcsaiba ültetjük pontjainkat, ekkor az átmérő 31,732; azonban kisebb átmérőjű elrendezést kapunk a felső 4 pont 45-os elforgatásával és az alsó négyhez való közelítésével olyan m' távolságra, hogy a megnyúlt oldalélek újra egységnyire csökkenjenek. Ekkor az oldalél egyik végpontjából a másikba az eredeti kockaélekkel párhuzamos 1/2, m', 1/2-1/2 hosszúságú elmozdulásokkal juthatunk el, így Pythagoras tétele alapján
(12)2+m'2+(12-12)2=1, innen m'2=12,
és a pontrendszer köré írt gömb r sugarára, átmérőjére
r2=(12)2+(m'2)2,2r=2+121,645.
Huhn András (Szeged, Ságvári E. Gyak. G.)
Treer Mária (Budapest, Kaffka M. G.).