|
Feladat: |
1320. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bóta K. , Deák I. , Ferenczi M. , Hoffer Anna , Horányi S. , Huhn András , Kersner R. , Kövér Á. , Lux I. , Márki L. , Simonovits András , Szántó O. , Szemkeő Judit , Szendrődi Annamária , Szép A. , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1966/március,
101 - 104. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térbeli ponthalmazok távolsága, Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/április: 1320. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kérdés ,,elég'' szava minden egyes értékhez a legkisebb olyan átmérő meghatározását kívánja, amelyre a átmérőjű gömb felületén még elhelyezhető pont úgy, hogy ne zavarják egymást. A megadandó értékek közül csak néhányról fogjuk megmutatni, hogy azok valóban a legkisebb megfelelő értékek, a további esetekben csak néhány kínálkozó pontelrendezés közül választjuk ki a legkisebb gömbön elhelyezhetőt, túl terjedelmes bizonyítások és diszkussziók elkerülése végett.
. Két pont az 1 átmérőjű gömbön 1 távolságra van, ha átellenes pontok, kisebb gömbön pedig mindig 1-nél kisebb távolságra van, tehát .
. A 3 ponton átmenő sík a gömbből kört metsz ki. A gömb átmérője legalább akkora, mint ezé a köré, így annak a legkisebb gömbnek is átmérője, amelyen még elhelyezhető 3 pont úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább 1 legyen. Minden ebbe a körbe írt, legalább 1 hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög egyik oldala éppen 1 hosszúságú, mert különben ez a kör kicsinyítésével volna elérhető. Az egységnyi oldal fölé írt egyenlő szárú háromszög szárai nagyobbak más háromszögben az egységnyi oldallal szomszédos kisebb oldalnál, így biztosan megfelel a feltételeknek, és az e köré írt kör akkor a legkisebb, ha a szárak is egységnyiek, vagyis a háromszög szabályos. Az e köré írt kör átmérője: .
. Lehet mind a 4 pont egy síkban, s így a gömb egy körén, vagy 3 egy körön, a negyedik nem ezen a körön. Az első esetben az előzőkhöz hasonlóan látható, hogy a kör legkisebb, ha a pontok egy beleírt egységnyi oldalú négyzet csúcsai; ekkor átmérője és ez egyben a kört tartalmazó legkisebb gömbfelület átmérője is. Ha a 4 pont nincs egy síkban, akkor jelöljük valamelyik 3 pont, mondjuk , , síkja által kimetszett kör sugarát -val. A pont távolsága és valamelyikétől nem nagyobb, mint a , , -en átmenő körben a -re merőleges átmérőn a húrtól távolabbi végpont, távolsága. -nek től való távolsága ismét nem nagyobb, mint a en, -en és a -gyel a körben átellenes ponton átmenő körben a -re merőleges átmérő távolabbi végpontjának távolsága -től; ez viszont nem nagyobb, mint a főkörben a -re merőleges átmérő távolabbi végpontjának távolsága -től (vagy a kör bármely pontjától). Ha tehát , , , nem zavarja egymást, akkor , , , sem. Az ezeken átmenő gömb átmérője, adott mellett, akkor a legkisebb, ha távolsága a másik három ponttól legkisebb, tehát 1. Ekkor, a gömb sugarát -rel jelölve, távolságát pedig a sugarú körtől -mel:
Ez akkor a legkisebb, ha a lehető legkisebb. Mivel a körbe háromszög írható 1-nél nem kisebb oldalakkal, így az esetből tudjuk, hogy minimális értéke . Így minimális értéke
(Ez valóban kisebb az első esetben adódott értéknél.) A négy pont ekkor egy szabályos tetraéder négy csúcsa.
esetben, ha az összes pont egy síkban van, akkor az egységnyi oldalú szabályos ötszög köré írt kör átmérője, adódik a legkisebb gömbátmérőnek. Ha a pontok nincsenek egy síkban, akkor van köztük 3, amelyek síkja a másik 2 pontot elválasztja. Ez könnyen látható, ha nincs 4 pont egy síkban, ha pedig 4 egy síkban van, akkor közülük kettőn, amelyek a gömbből kivágott körön elválasztják a másik kettőt, továbbá az ötödik ponton átmenő sík megfelel a kívánt feltételnek. Az esetben követett gondolatmenethez hasonlóan látható be ismét, hogy egymást nem zavaró pontötösból újra ilyent kapunk, ha az elválasztó síkon kívül levő két pontot a síkra merőleges átmérő végpontjaival helyettesítjük. Egy ilyen pontötöst tartalmazó gömb sugara pedig akkor a legkisebb, ha a sík a gömböt főkörben metszi, és ennek pontjai az átmérő végpontjaitól egységnyi távolságra vannak. Az átmérő végpontjai és a főkörön levő bármelyik pont egyenlő szárú derékszögű háromszöget alkot, s így a gömb átmérője ; tehát . A főkörön levő pontok választásában csak annyi megkötésünk van, hogy bármelyik két pont közti kisebb ív legalább negyedkör legyen. Ha két csatlakozó negyedkör összesen 3 végpontját vesszük, akkor egy szabályos négyoldalú gúlát kapunk, amelynek minden éle egységnyi. -ra áttérve ‐ az eddigiekkel ellentétben ‐ nem növekszik a legkisebb átmérő értéke, mert az előbb említett gúla csúcsát az alapnégyzetre tükrözve a átmérőjű gömbbe írt szabályos oktaédert kapunk, csupa egységnyi éllel. 5 vagy 6 pontot helyezve egy síkba, nagyobb (, ill. 2) átmérőjű gömb adódik. Így Ennél kisebb átmérő nem adódhat, hiszen a 6 pont közül bármelyik 5 sem zavarja egymást, tehát .
esetén elsőnek az egységnyi élű kocka csúcsaiba ültetjük pontjainkat, ekkor az átmérő ; azonban kisebb átmérőjű elrendezést kapunk a felső 4 pont -os elforgatásával és az alsó négyhez való közelítésével olyan távolságra, hogy a megnyúlt oldalélek újra egységnyire csökkenjenek. Ekkor az oldalél egyik végpontjából a másikba az eredeti kockaélekkel párhuzamos , , hosszúságú elmozdulásokkal juthatunk el, így Pythagoras tétele alapján | | és a pontrendszer köré írt gömb sugarára, átmérőjére | | Huhn András (Szeged, Ságvári E. Gyak. G.) Treer Mária (Budapest, Kaffka M. G.).
|
|