|
Feladat: |
1319. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bóta K. , Hoffmann Gy. , Kiss Katalin , Lamm P. , Mátrai M. , Nagy Klára , Pelikán J. , Siket Aranka , Surányi L. , Veres F. |
Füzet: |
1965/április,
167 - 168. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatba írt kör, Háromszögek nevezetes tételei, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/április: 1319. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adatok között csak arányok szerepelnek, ezért választhatjuk pl. a keresett háromszögbe beírt kör sugarát mértékegységnek. Legyen az először említett oldal , ahol a háromszög magasságpontja, a második pedig .
1. ábra Legyen a háromszög köré írt körnek -vel átellenes pontja . Ekkor merőleges -re, és így párhuzamos -mel, hasonlóan , ezért , , és egy paralelogramma csúcsai, és . Ez akkor is érvényes, ha azonos -val vagy -vel, mert ekkor a háromszögben -nél, ill. -nál derékszög van, ezért a derékszög csúcsába esik. Feladatunkban nem lehetséges, különben miatt lenne. Eszerint a derékszögű háromszögben a befogó -szor akkora, mint a befogó, tehát a háromszög hasonló a magasságával kettévágott egyenlő oldalú háromszög részeihez, ezért -nél levő szöge . Amennyiben a -t tartalmazó íven van, úgy , ha pedig a másik íven van, akkor ‐ az 1. ábrán és . -t ismerve megszerkeszthetjük a háromszöget, és a számításban a szerkesztést követhetjük. Az csúcsú szög szárait érintő, sugarú kört szerkesztünk, a szög egyik szárára felmérjük -t, ekkor a egyenest a körhöz -ből húzott második érintő adja, megoldás akkor van, ha ez metszi másik szárát. esetén igen egyszerűen kapjuk a szögeket: a érintési pontra , ezt vehetjük első részének. Második résznek a darabot véve a hátra levő darab egyenlő -val, így az háromszög egyenlő szárú, ezért szöge fele az külső szögnek. A szög viszont kétszerese -nak, mert a tükörképe a tengelyre, ennélfogva . Eszerint az háromszög szögei rendre , , .
2. ábra esetén , és így a háromszögből | | és a második megoldásban a szögek , , Kiss Katalin (Makó, József A. g. III. o. t.) |
|