Feladat: 1319. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóta K. ,  Hoffmann Gy. ,  Kiss Katalin ,  Lamm P. ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Pelikán J. ,  Siket Aranka ,  Surányi L. ,  Veres F. 
Füzet: 1965/április, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Háromszögek nevezetes tételei, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/április: 1319. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adatok között csak arányok szerepelnek, ezért választhatjuk pl. a keresett ABC háromszögbe beírt kör ϱ sugarát mértékegységnek. Legyen az először említett oldal BC=3AM, ahol M a háromszög magasságpontja, a második pedig AB=1+2+3.

 
 
1. ábra
 

Legyen a háromszög köré írt körnek B-vel átellenes pontja B'. Ekkor B'A merőleges AB-re, és így párhuzamos CM-mel, hasonlóan B'CAM, ezért A, C, B' és M egy paralelogramma csúcsai, és AM=B'C. Ez akkor is érvényes, ha B' azonos A-val vagy C-vel, mert ekkor a háromszögben C-nél, ill. A-nál derékszög van, ezért M a derékszög csúcsába esik. Feladatunkban B'=C nem lehetséges, különben AM=0 miatt BC=0 lenne.
Eszerint a BB'C derékszögű háromszögben a BC befogó 3-szor akkora, mint a B'C befogó, tehát a háromszög hasonló a magasságával kettévágott egyenlő oldalú háromszög részeihez, ezért B'-nél levő szöge 60. Amennyiben A a B'-t tartalmazó BC íven van, úgy α=BAC=60, ha pedig a másik íven van, akkor α=120 ‐ az 1. ábrán A* és M*.
α-t ismerve megszerkeszthetjük a háromszöget, és a számításban a szerkesztést követhetjük. Az A csúcsú α szög szárait érintő, ϱ=1 sugarú kört szerkesztünk, a szög egyik szárára felmérjük AB-t, ekkor a BC egyenest a körhöz B-ből húzott második érintő adja, megoldás akkor van, ha ez metszi α másik szárát. α=60 esetén igen egyszerűen kapjuk a szögeket: a T érintési pontra AT=3, ezt vehetjük AB első részének. Második résznek a TU=1 darabot véve a hátra levő UB=2 darab egyenlő UO-val, így az OUB háromszög egyenlő szárú, ezért OBU szöge fele az OUT külső szögnek. A CBA szög viszont kétszerese OBU-nak, mert BC a BA tükörképe a BO tengelyre, ennélfogva β=CBA=OUT=45. Eszerint az ABC háromszög szögei rendre 60, 45, 75.
 
 
2. ábra
 

α=120 esetén AT=1/3, és így a BOT háromszögből
ctgβ2=TB/OT=1+2+3-1/33,569,
és a második megoldásban a szögek 120, 31,3, 28,7
 Kiss Katalin (Makó, József A. g. III. o. t.)