|
Feladat: |
1316. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Deák István , Hirka András , Hoffer Anna , Kiss Katalin , Kövér Ákos , Lehel Csaba , Lovász László , Márki László , Patkós András , Pelikán József , Siket Aranka , Simonovits András , Surányi László , Szép András , Sövényházy Mária , Veres Ferenc , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1965/november,
127 - 129. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/április: 1316. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük (1) és (2) jobb oldalát -val, ill. -vel, távolítsuk el a nevezőket és gyűjtsük egy oldalra az -t tartalmazó tagokat: | | (3) | Az első jobb oldal -szerese a másodiknak -szeresével egyenlő. Az így adódó egyenletet a következő alakra rendezhetjük: | | (4) | Innen, amennyiben , az egyenletet kielégítő csak | | lehet. A diszkriminánst átalakítva és az eredeti paraméterekkel kifejezve:
tehát mindig valós megoldást kapunk. Mivel még | | (5) | azért az egyenlet egyik gyöke, ha (azaz , ) | | Mivel (4)-ben az első és utolsó együttható egyenlő, s így , azért . Most már -t pl. (3) első egyenletéből számíthatjuk, ha :
Összefüggéseink arra az esetre érvényesek, ha és , továbbá ha . Ha , de , akkor (3) második egyenletéből ugyanezen -értékek adódnak, feltéve, hogy és . és csak akkor lesz egyszerre , ha , azaz, mivel | | (6) | tehát ha vagy . Mint látjuk, ezekben az esetekben fenn is áll mindig . Azt nyertük tehát, hogy ha és , továbbá és egyike nem , akkor csak a fenti ; és , lehet az egyenletrendszer megoldása. (Az (5) és (6) alapján és nem , és így , létezik.) Behelyettesítve (1) és (2)-be, mivel
azért , megoldása az egyenletrendszernek, ha sem , sem nem . Mivel továbbá
így a fenti feltételek mellett , is megoldás. A kivételes esetek vizsgálatára jól használhatók a (3) alatti egyenletek összeadásával és kivonásával keletkező egyenletek: | | (7) |
Ha , akkor innen , ; tehát ha , ; ‐ ha pedig , akkor tetszés szerinti szám lehet, amire , tehát nem lehet . Ezek az értékpárok ki is elégítik az egyenletrendszert. Hasonlóan ha , akkor , és ha , ; ‐ ha pedig , bármely -től különböző szám lehet, és ezek ismét megoldását szolgáltatják az egyenletrendszernek. Vizsgáljuk még az , feltételeket. Ha pl. , akkor . A hátra levő esetekben, amikor sem , sem nem , nem lehet , mert ebből az éppen mondottak szerint vagy következik. Legyen most , . Mivel most csak a fent nyert , és , értékpár lehet az egyenletrendszer megoldása, így (a törtnek van értelme, mivel ) és | | továbbá , , mert . Ebből , s így a (2) egyenlet bal oldala értelmetlenné válik. Ebben az esetben tehát nincs megoldása az egyenletrendszernek. Ugyanígy az , esetben sem, mert akkor , s így az (1) egyenlet bal oldala válik értelmetlenné. Végül, mikor lesz az , és , megoldáspár azonos? Mivel | | tehát ez csak akkor következhet be, ha és közül az egyik vagy . Ez azonban a kivételes esetek közé tartozik. Ha és másika is vagy , akkor vagy , vagy ; ha a másik nem vagy , akkor pedig nincs megoldása az egyenletrendszernek. Mivel , s így , ill. akkor és csak akkor , ha , ill. értéke ugyanennyi, így (5)-öt és (6)-ot is figyelembe véve eredményeink így foglalhatók össze: ha különbözik -től és -től, és mindkettő különbözik -től, akkor az egyenletrendszernek két különböző megoldása van: a fenti , és , értékpár. Ha és egyike , a másik ettől különböző érték, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ha egyenlő -vel, vagy a reciprokával, de -től különböző, akkor , ; ha egyenlő -vel vagy -vel, de nem , akkor , . Ha , akkor , bármely -től különböző szám lehet, ha pedig , akkor tetszőleges szám, csak nem , és .
Pelikán József (Budapest, Fazekas M. Gyak. G.)
|
|