A keresett felbontást sikerül a közöltek alapján megállapítani, elkészítve $900$ összes, $3$ különböző tényezős felbontásait és természetesen feltéve, hogy a két fiú váltakozó ,,még nem tudom'' kijelentései ‐ röviden ,,nem''-jeik ‐ helyesek, vagyis azt jelentik, hogy a cédulák és az addig elhangzott ,,nem''-ek alapján egynél több felbontási lehetőség áll előttük.
Béla első ,,nem''-je azt mutatja, hogy Béla a cédulán kapott $b$ számhoz több felbontási lehetőséget talált, vagyis $900/b$-t ‐ a szélső számok szorzatát ‐ többféleképpen lehet két olyan tényezőre bontani, amelyek közül az első kisebb, a második nagyobb $b$-nél.
Dezsőnek ugyancsak több megfelelő felbontást kellett kapnia, vagyis olyant, amiben a legkisebb tényezőnél a cédulán talált $d$-vel nagyobb is fellépett a tényezők közt.
A fiúk arra használhatták fel egymás ,,nem''-jeit, hogy mellőzzék mindazokat a felbontási lehetőségeket, amelyekben nem lép fel a mondott többértelműség. (A feladatban említett hosszabb számolási idő alatt bizonyára $900$ összes felbontásait áttekintették.) Dezső törölhetett minden olyan felbontást, melynek középső tényezője már csak abban a felbontásban szerepelt középsőként; Béla pedig minden olyat, amelynek legkisebb tényezőjét a másik kettőből levonva egyik különbség sem fordul elő egyetlen más felbontás hasonlóan képezett különbségei között sem.
Táblázatunk $b$ szerint növekvő rendben sorolja fel a felbontásokat, az 1. tényező kivonásával adódó különbségeket, majd esetenként annak $B_i$, ill. $D_i$ jelét ($i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}$), hogy Béla, ill. Dezső hányadik ,,nem''-je alapján törölte a másik fiú ezt a felbontást. A különbség utáni $e$ betű azt jelzi, hogy az az érték egyedül ott lép fel különbségként. (A $2<b<10$ értékekhez tartozó $F-2$ ‐ $F-17$ jelű felbontások közlését mellőzzük, mert a továbbiakban nem szerepelnek.)
Béla első ,,nem''-je ($B_1$) alapján töröljük az $F-1$, $F-31$ és $F-32$ felbontásokat, majd $D_1$ alapján $F-23$-at, $F-26$-ot és $F-30$-at. Nem tudjuk, hogy a hosszabb számolás után még hány ,,nem''-et mondtak a fiúk, de $1$-nél többet, $B_2$, $D_2$ és $B_3$ mindenesetre elhangzott. ‐ $F-30$ törlése után csak $F-29$-ben áll középen $18$, ekkor $B_2$ alapján töröljük $F-29$-et. Folytatólag $D_2$ alapján $F-28$ esik ki, mert már csak ebben szerepel $17$-es különbség. Továbbmenve $B_3$-ból hasonlóan $b\ne 15$ adódik, $F-27$ törölhető, és ekkor $13$-as különbség csak $F-21$-ben szerepel.
Ha Dezső részére a keresés mostani állapotában vált lehetővé a felbontás megmondása, akkor az ő céduláján $d=13$ állt, és a felbontás $5\cdot 10\cdot 18$ volt.
Megmutatjuk, hogy ha Dezső most is ,,nem''-et mondott volna, később már nem mondhatta volna meg a felbontást. Ekkor ugyanis $d\ne 13$, törölhető az $F-21$, de ezzel nem csökken $1$-re a $b=10$-es felbontások száma, Béla csak ,,nem''-et mondhat (hiszen a többi felbontások számára nem történt semmi változás). Így pedig Dezső nem törölhet, és az ő számára ötödik megszólalása előtt a táblázat állása ugyanaz, mint a negyedik előtt volt, további előrehaladás lehetetlen.
Eszerint a keresett felbontás valóban csak $5\cdot 10\cdot 18$ lehetett, és Béla céduláján $10$ állt.