Kezdőlap


Feladat:	1310. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bense I. , Bojtár J. , Bóta Károly , Deák I. , Dévaj Ágnes , Ferenczi Gy. , Gyenes G. , Horváth J. (Esztergom) , Huhn A. , Lux I. , Márki L. , Mátrai M. , Mészáros L. , Nagy Klára , Nagy Zsuzsa , Pelikán J. , Racskó P. , Szemkeő Judit , Szép A. , Sörlei Zsuzsa , Treer Mária , Végh M. , Veres F.
Füzet:	1965/szeptember, 14 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Súlyvonal, Nevezetes egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1310. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen az $A B C$ háromszögben $A B = A C = 1$ , $B A C ∢ = α$ , $A B C ∢ = β$ , az alap és az $A C$ szár felezőpontja $A_{0}$ , ill. $B_{0}$ , és az utóbbi vetülete $B C$ -n $D$ . Ekkor $B C = 2 cos β$ , $A A_{0} = s_{a}$ azonos az $A$ -ból húzott magassággal: $s_{a} = sin β$ , másrészt a $B B_{0} D$ derékszögű háromszögben $B D = 3 B C / 4$ , $B_{0} D = s_{a} / 2$ , így

\begin{matrix} 2 s_{b} = \sqrt[]{9 cos^{2} β + sin^{2} β} = \sqrt[]{1 + 8 cos^{2} β} = \sqrt[]{5 + 4 cos 2 β}, \\ S = s_{a} + 2 s_{b} = sin β + \sqrt[]{5 + 4 cos 2 β}, \end{matrix}

másrészt a háromszög kerülete

2 s = a + b + c = 2 (1 + cos β)

α = 8^{\circ}

esetén

β = 86^{\circ}

S \approx 2, 036

2 s \approx 2, 140

, így a keresett arány

(2 s - S) : 2 s \approx 0, 0574 \approx 1 / 17, 5

, vagyis

S

a felső korlátnak közelítőleg a

17

-ed részével marad alatta.

β = 8^{\circ}

esetén

S \approx 3, 113

, az alsó korlát

3 s / 2 \approx 2, 985

, a keresett arány

(S - 3 s / 2) : (3 s / 2) \approx 0, 0428 \approx 1 / 23

, vagyis

S

az alsó korlátot annak kb.

23

-ad részével haladja meg.

II. A keresett első egyenlő szárú háromszög-alak céljára megfelel minden olyan

β

hegyesszög, amellyel szerkesztett háromszögben

S

nagyobb a kerület

29 / 30

részénél, vagy éppen egyenlő vele, azaz

\begin{matrix} sin β + \sqrt[]{1 + 8 cos^{2} β} \geq \frac{29}{15} (1 + cos β) . \end{matrix}

(1)

A bal oldal első tagja

A A_{0}

, nagyobb az

A B

és

B A_{0}

oldalak különbségénél, ami

1 - cos β

, második tagja pedig nagyobb

1

-nél, tehát a bal oldal nagyobb, mint

2 - cos β

. Ha találunk olyan

β

hegyesszöget, amely mellett ez a kifejezés nagyobb (1) jobb oldalánál, vagy egyenlő vele, arra (1) is teljesül. Mármost

\begin{matrix} 2 - cos β \geq \frac{29}{15} (1 + cos β) \end{matrix}

teljesül, ha

cos β \leq 1 / 44

, azaz ha

β \geq 88, 7^{\circ}

. Például

β = 89^{\circ}

α = 2^{\circ}

esetén ‐ a táblázati értékek kikeresésekor a tagok alsó közelítő értékét felhasználva ‐

\begin{matrix} S = sin 89^{\circ} + \sqrt[]{5 + 4 cos 178^{\circ}} > 0, 9997 + \sqrt[]{5 - 4 \cdot 0, 9995} > \\ > 0, 9997 + 1, 0009 = 2, 0006, \end{matrix}

másrészt felkerekítéssel

\begin{matrix} 2 s = 2 (1 + cos 89^{\circ}) < 2 \cdot 1, 0176 = 2, 0352, \end{matrix}

így eltérésük kisebb mint

0, 0346

, ami maga is kisebb, mint a felső korlát

1 / 50

része.
A keresett második alak céljára megfelel minden olyan

β

hegyesszög, amellyel szerkesztett háromszögben

S

kisebb az alsó korlát

31 / 30

-szorosánál, vagy egyenlő vele, vagyis (a négyzetgyök újabb átalakításával)

\begin{matrix} S = sin β + \sqrt[]{9 - 8 sin^{2} β} \leq \frac{31}{30} \cdot \frac{3}{2} (1 + cos β) . \end{matrix}

(2)

A bal oldal kisebb, mint

sin β + 3

, a jobb oldalon

cos β = B A_{0} > B A - A A_{0} = 1 - sin β

. Ha (2)-be ezeket beírva, a kapott egyenlőtlenséget valamely

β

hegyesszög teljesíti, arra (2) is teljesül. Mármost

\begin{matrix} sin β + 3 \leq \frac{31}{20} (2 - sin β) \end{matrix}

teljesül, ha

sin β \leq 2 / 51

, ehhez pedig elegendő, ha

β \leq 2, 2^{\circ}

. Például

β = 2^{\circ}

α = 176^{\circ}

esetén felkerekítésekkel

S = sin 2^{\circ} + \sqrt[]{5 + 4 cos 4^{\circ}} < 0, 0350 + \sqrt[]{5 + 4 \cdot 0, 9977} < 0, 0350 + 2, 9985 = 3, 0335

,
és lekerekítéssel

\begin{matrix} 3 s / 2 = 3 (1 + cos 2^{\circ}) / 2 > 3 \cdot 1, 9993 / 2 > 2, 9989, \end{matrix}

így eltérésük kisebb, mint

0, 0346

, ami maga is kisebb, mint az alsó korlát

1 / 80

része.

Bóta Károly (Budapest, Fazekas M. gyak. g.)

Megjegyzés. A II. részben látott eljárásoktól kissé eltérően kapunk megfelelő háromszög-alakokat a következő meggondolásokkal. Legyen a háromszög alapja

2 x

. Az első esetben a háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával

\begin{matrix} S > s_{a} + 2 \cdot B_{0} D = 2 s_{a} > 2 (A B - B A_{0}) = 2 (1 - x), \end{matrix}

így

\begin{matrix} \frac{S}{2 s} > \frac{1 - x}{1 + x} \geq \frac{29}{30} \end{matrix}

teljesül, mihelyt

x \leq 1 / 59

, azaz

cos β \leq 0, 0169

β \geq 89, 1^{\circ}

. (A kapott korlát azért szűkebb, mert fent

2 s_{b}

helyére

1

-et írtunk.)
A második esetben

\begin{matrix} S = s_{a} + 2 s_{b} < s_{a} + 2 (B D + D B_{0}) = 2 s_{a} + 3 x, \end{matrix}

és megfelel egy háromszög-alak, ha ezt az alsó korlátnál

31 / 30

-szor nagyobb számból kivonva nem negatív számot kapunk:

\begin{matrix} \frac{31}{30} \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 (1 + x) - (2 s_{a} + 3 x) = \frac{1}{20} (31 - 40 s_{a} - 29 x) \geq 0. \end{matrix}

A zárójel harmadik tagjában

x = B A_{0}

helyére a nagyobb

B A = 1

-et írva a különbség helyére kisebb szám lép, de még az is pozitívvá tehető, mégpedig

2 - 40 s_{a} \geq 0

, ha

s_{a} \leq 1 / 20

, azaz

sin β \leq 0, 05

β \leq 2, 8^{\circ}