Kezdőlap


Feladat:	1309. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horányi János
Füzet:	1965/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1309. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert azonosságok alapján

\begin{matrix} tg x + ctg x & = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = 2 sin 2 x és & (2) \\ tg x - ctg x & = - \frac{2 cos 2 x}{sin 2 x} = - 2 ctg 2 x . & (3) \end{matrix}

Ezek szerint (1) harmadik és negyedik tagja együtt a második tag (

- 2

)-szeresével egyenlő; így az első négy tag együtt egyenlő az első és a második tag különbségével, ez pedig (3) szerint egyenlő

- 2 ctg π / 4 = - 2

-vel.
Másrészt (1) utolsó két tagja együtt (2) szerint egyenlő

sin π / 12

felének reciprokával.

π / 12 = π / 4 - π / 6

, ezért

\begin{matrix} sin \frac{π}{12} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} (\frac{\sqrt[]{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2}}, \end{matrix}

így az adott kifejezés értéke, 4 értékes jegyre kerekítve

- 2 + 2 (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2}) = 2 (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2} - 1) \approx 5, 728

Horányi János (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A dolgozatok nagy része (1)-nek mind a 6 tagját külön‐külön számította ki, legtöbbször a

\begin{matrix} tg \frac{x}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos x}{1 + cos x}}, ctg \frac{x}{2} = 1 / tg \frac{x}{2}, sin \frac{x}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos x}{2}} \end{matrix}

képletek felhasználásával. Az adott esetben az előforduló szögek mind hegyesszögek, így a négyzetgyökök pozitív értéke veendő. A mondott képletnél célszerűbb a négyzetgyököt nem tartalmazó

\begin{matrix} tg \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{sin x} = \frac{sin x}{1 + cos x} \end{matrix}

azonosság.