Kezdőlap


Feladat:	1307. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Belső László , Bojtár J. , Bóta Károly , Császár Z. , Csörnyey Z. , Deák István , Ferenczi György , Herényi István , Hoffer Anna , Hoffmann György , Huhn András , Kerényi István , Kiss Katalin , Kóbor Gy. , Kövér Ákos , Laczkovich M. , Lamm P. , Langer László , Lehel Csaba , Lovász László , Lux Iván , Márki László , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Palotás Á. , Pelikán József , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi Mihály , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szép András , Sövényházy Mária , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1964/december, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1307. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A sorozat 1‐3 indexű tagjai így írhatók:

\begin{matrix} a_{1} & = 1 - \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{2^{2}} (2^{2} - 1^{2}), \\ a_{2} & = 1 - \frac{1}{3^{2}} (2^{2} - 1^{2}) = \frac{1}{3^{2}} (3^{2} - 2^{2} + 1^{2}), \\ a_{3} & = 1 - \frac{1}{4^{2}} (3^{2} - 2^{2} + 1^{2}) = \frac{1}{4^{2}} (4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}) . \end{matrix}

Ezek alapján

a_{n}

kifejezésére a következőt sejtjük:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} [{(n + 1)}^{2} - n^{2} + {(n - 1)}^{2} - {(n - 2)}^{2} + ... + \\ + {(- 1)}^{n} \cdot 2^{2} + {(- 1)}^{n + 1} \cdot 1^{2}], \end{matrix}

vagyis a zárójelben a négyzetszámok állanak fordított sorrendben,

{(n + 1)}^{2}

-től

1^{2}

-ig, minden másodikuk kivonandó gyanánt.
A szögletes zárójelbeli egymás utáni tagokat párosával szorzattá alakítva mindegyik pár egyenlő az alapok összegével, mert az alapok különbsége mindig 1; a kifejezés eleje így alakul:

\begin{matrix} [(n + 1) + n] + [(n - 1) + (n - 2)] + ..., \end{matrix}

vége pedig páros, ill. páratlan

n

esetére

\begin{matrix} ... + (3 + 2) + 1^{2}, ill. ... + (2 + 1), \end{matrix}

vagyis a kifejezés mindenképpen az

n + 1

-től

1

-ig terjedő egész számok összege. Így

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} = \frac{n + 2}{2 (n + 1)}, \end{matrix}

(3)

vagyis sejtésünk szerint bármelyik tagot úgy számítjuk ki a sorszámából, hogy a 2-vel és 1-gyel nagyobb számok hányadosát osztjuk 2-vel.
Könnyen belátható, hogy ez

n = 0, 1, 2, 3

esetére megegyezik a tagok kijelölt alakjából adódó számmal. Megmutatjuk, hogy ha (3) érvényes az

n

indexre, akkor érvényes a rá következő

n + 1

-re is. Valóban (1) szerint

\begin{matrix} a_{n + 1} = 1 - {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{2} a_{n} = 1 - \frac{n + 1}{2 (n + 2)} = \frac{n + 3}{2 (n + 2)}, \end{matrix}

(4)

megfelelően a szóban kimondott képezési szabálynak.
II. Ezek szerint a (2) alatti,

n + 1

tényezőből álló szorzat számlálójában az egész számok szorzata áll 2-tő1

n + 2

-ig bezárólag, nevezőjében pedig

2^{n + 1}

, szorozva az

1

-től

n + 1

-ig terjedő egész számok szorzatával. Így egyszerűsítéssel

\begin{matrix} a_{0} a_{1} a_{2} ... a_{n} = \frac{n + 2}{2^{n + 1}} . \end{matrix}

(5)

Valóban (4) szerint

\begin{matrix} a_{0} a_{1} a_{2} ... a_{n} \cdot a_{n + 1} = \frac{n + 2}{2^{n + 1}} \cdot \frac{n + 3}{2 (n + 2)} = \frac{n + 3}{2^{n + 2}}, \end{matrix}

és ez ugyanúgy áll elő

n + 1

-ből, mint (5) az

n

-ből.

Lux Iván (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. A kezdő tagokat kiszámítva:

\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = \frac{3}{4}, a_{2} = \frac{2}{3}, a_{3} = \frac{5}{8}, a_{4} = \frac{3}{5}, a_{5} = \frac{7}{12} . \end{matrix}

Az egymás utáni tagokban mind a számlálók, mind a nevezők váltakozva növekedést és fogyást mutatnak. A páros indexű, csökkenést mutató nevezők páratlanok, ezeket a tagokat 2-vel bővített

\begin{matrix} a_{0} = \frac{2}{2}, a_{2} = \frac{4}{6}, a_{4} = \frac{6}{10} \end{matrix}

alakban írva a fenti sorozatba, megmutatkozik a (3) szabályszerűség.

Márki László (Budapest, Fazekas M. g. III. o. t.)