Kezdőlap


Feladat:	1306. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóta Károly , Székely Gábor
Füzet:	1964/december, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1306. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kifejezés nincs értelmezve, ha $u (u - 2 v) < 0$ ,

\begin{matrix} tehát vagy ha u > 0, u - 2 v < 0, azaz 2 v > u > 0, \\ vagy ha u < 0, u - 2 v > 0, azaz 2 v < u < 0. \end{matrix}

Máskor

\begin{matrix} u^{2} - 2 u v + 3 v^{2} + 2 v \sqrt[]{3 u (u - 2 v)} = \\ = & u (u - 2 v) + 2 \sqrt[]{3} v \sqrt[]{u (u - 2 v)} + {(\sqrt[]{3 v})}^{2} = \\ = & {(\sqrt[]{u (u - 2 v)} + \sqrt[]{3} v)}^{2} \end{matrix}

tehát a külső gyökjel alatt nem áll negatív szám: a keresett gyökmennyiség pedig megegyezik

\begin{matrix} | \sqrt[]{u (u - 2)} + \sqrt[]{3} v | -vel . \end{matrix}

Itt az abszolút érték jele elhagyható, kivéve ha

v

negatív és

\begin{matrix} - \sqrt[]{3} v = \sqrt[]{3} \cdot | v | > \sqrt[]{u (u - 2 v)} . \end{matrix}

Mivel mindkét oldalon pozitív szám áll, ez ugyanakkor teljesül, amikor a négyzetre emeléssel keletkező

\begin{matrix} 3 v^{2} > u (u - 2 v), 4 v^{2} > u^{2} - 2 u v + v^{2} = {(u - v)}^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenség. Ez viszont akkor teljesül, ha

\begin{matrix} | u - v | < 2 | v | = - 2 v, \end{matrix}

azaz ha

\begin{matrix} 2 v < u - v < - 2 v, 3 v < u < - v . \end{matrix}

Ebből

u < 0

esetén a

2 v < u

esetben a kifejezés nincs értelmezve, tehát csak a

\begin{matrix} 3 v < u \leq 2 v, 0 \leq u < - v \end{matrix}

esetek maradnak. Ezek szerint

\begin{matrix} \sqrt[]{u^{2} - 2 u v + 3 v^{2} + 2 v \sqrt[]{3 u (u - 2 v)}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = {\begin{matrix} \sqrt[]{u (u - 2 v)} + \sqrt[]{3} v, ha 0 \leq v \leq \frac{u}{2}, vagy u \leq 0 \leq v, \\ vagy u \leq 3 v < 0, vagy 0 < - v \leq u; \\ - \sqrt[]{3} v - \sqrt[]{u (u - 2)} = \sqrt[]{3} | v | - \sqrt[]{u (u + 2 | v |)}, \\ ha v < 0 és 3 v < u \leq 2 v < 0, vagy 0 \leq u < - v; \\ nincs értelme, ha 0 < u < 2 v \end{matrix} \end{matrix}

Bóta Károly (Budapest, Fazekas M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A puszta átalakításhoz eljutunk az

\begin{matrix} \sqrt[]{A + \sqrt[]{B}} = \sqrt[]{\frac{A + \sqrt[]{A^{2} - B}}{2}} + \sqrt[]{\frac{A - \sqrt[]{A^{2} - B}}{2}} \end{matrix}

azonossággal is. A bal oldal akkor azonos (1)-gyel, ha

\begin{matrix} A = u^{2} - 2 u v + 3 v^{2} = u (u - 2 v) + 3 v^{2}, B = 12 u v^{2} (u - 2 v) . \end{matrix}

Ezekkel a jobb oldal belső gyökjele egyszerűen alakul:

\begin{matrix} A^{2} - B & = u^{2} {(u - 2 v)}^{2} - 6 u v^{2} (u - 2 v) + 9 v^{4} = \\ = {[u (u - 2 v) - 3 v^{2}]}^{2}, \end{matrix}

vagyis az

A

utóbbi alakjában szereplő tagok különbségének négyzete.

Székely Gábor (Budapest, Madách I. g. III. o. t.)