Feladat:	1304. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deák I. ,  Ferenczy Gy. ,  Huhn A. ,  Kiss Györgyi ,  Kiss Katalin ,  Laczkovich Miklós ,  Lehel Cs. ,  Lovász L. ,  Lux I. ,  Márki L. ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Pelikán J. ,  Siket Aranka ,  Szenthe P. ,  Szép András ,  Sövényházy Mária ,  Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/február, 69 - 71. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Tengely körüli forgatás, Szerkesztések a térben, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 1304. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. Azt kell megmutatnunk, hogy van $H$ belsejében olyan $O$ pont, amely mind a négy laptól egyenlő távolságra van. A $H$ belsejében és az $ABC$ és $ABD$ lapsíkoktól egyenlő távolságra levő pontok az $AB$ élnél levő (belső) lapszög $F_1$ felezősíkján vannak (és $F_1$ minden pontja egyenlő távolságra van a két lapsíktól). Hasonlóan a $BCA$ és $BCD$ lapoktól egyenlő távolságra levő $H$-beli pontok a $BC$ élnél levő (belső) lapszög $F_2$ felezősíkjának $H$-beli pontjai. Így $H$-nak a $B$-ben összefutó három lapjától egyenlő távolságra levő pontok $F_1$ és $F_2$ metszésvonalán, $f$-en vannak. (A metszésvonal létezik, mert a két síknak van közös pontja, ti. $B$, másrészt nem esnek egybe, mert van $F_1$-nek olyan pontja, amely nincs rajta $F_2$-n, ilyen pl. $A$.) Megmutatjuk, hogy $f$ a $CAD$ lapsíkot a $CAD$ háromszög belsejében metszi. $F_1$ elválasztja $C$-t $D$-től, ezért a $CD$ élt egy $D_1$ belső pontjában metszi, így $F_1$-nek a $CAD$ lapsíkkal közös egyenese $A{D}_1$. Hasonlóan $CAD$ és $F_2$ közös egyenese $C{D}_2$, ahol $D_2$ az $AD$ élnek belső pontja. Ezek szerint $A{D}_1$ és $C{D}_2$ egy az $ACD$ háromszög belsejében levő $E$ pontban metszik egymást, és $E$ az $f$-nek pontja, mert $F_1$-nek és $F_2$-nek közös pontja. Végül a $CAB$ és $CAD$ lapsíkoktól egyenlő távolságban levő $H$-beli pontok a két lap szögének $F_3$ felezősíkján vannak. $f$ metszi $F_3$-at, mert $B$ és $E$ pontjai $F_3$ két oldalán vannak, így az $O$ metszéspont a $BE$ szakaszon, tehát $H$ belsejében van. $O$ a $D$-ben összefutó lapsíkok mindegyikétől ugyanakkora $r$ távolságra van, mint az $ABC$ lapsíktól, ennélfogva az $O$ körül $r$ sugárral írt $G$ gömb $H$-nak mind a négy lapsíkját érinti, éspedig belülről. Ezzel az első állítást bebizonyítottuk.   II. Legyen $G$ érintési pontja a $BCD$ lapon $A^{*}$, az $ABC$ lapon $D^{*}$; az utóbbit kell megszerkesztenünk. Az érintés miatt $A^{*}$ és $D^{*}$ egyenlő távolságra vannak a $BC$ éltől, és a belőlük $BC$-re állított merőlegesek a $BC$ élen metszik egymást. Ugyanis $BC$, mint a $BCD$ sík egyenese, merőleges a síkra merőlegesen álló $O{A}^{*}$ egyenesre, ugyanígy $O{D}^{*}$-ra is, tehát merőleges az $O{A}^{*}{D}^{*}$ síkra, ez a sík metszi ki $BC$-ből az említett pontot. Ezért ha $D$-vel együtt $A^{*}$-ot is az $ABC$ síkba forgatjuk, $A^{*}$ a $D^{*}$-ba jut, így $D_a{D}^{*}=D{A}^{*}$. Legyen $G$ érintési pontja a $CAD$ és $ABD$ oldallapon $B^{*}$, ill. $C^{*}$; ezek $D$-vel együtt $CA$, ill. $AB$ körül az $ABC$ síkba forgatva ugyancsak $D^{*}$-ba jutnak, tehát $D_b{D}^{*}=D{B}^{*}$, és $D_c{D}^{*}=D{C}^{*}$. Ámde $D{A}^{*}$, $D{B}^{*}$ és $D{C}^{*}$ a $G$-hez $D$-ből húzott érintőszakaszok, tehát egyenlők, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle D_a{D}^{*}=D_b{D}^{*}=D_c{D}^{*}\mathrm{,}}\end{array}$ így $D^{*}$ valóban a leforgatásokkal kapott $D_a$, $D_b$, $D_c$ pontokon áthaladó kör középpontja.    Laczkovich Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)   Megjegyzés. A következő meggondolásban kissé másképpen adódik, hogy $A^{*}$-nak a fenti forgatás utáni $A_a^{*}$-helyzete azonos $D^{*}$-gal. $B{A}^{*}=B{D}^{*}$ és $C{A}^{*}=C{D}^{*}$, mint $G$-hez $B$-ből, ill. $C$-ből húzott érintőszakaszok. Így $BC{A}_a^{*}▵\simeq BC{A}^{*}▵\simeq BC{D}^{*}▵$, mert a forgatás a méreteket nem változtatja, ill. mert az oldalak páronként egyenlők.