|
Feladat: |
1304. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Deák I. , Ferenczy Gy. , Huhn A. , Kiss Györgyi , Kiss Katalin , Laczkovich Miklós , Lehel Cs. , Lovász L. , Lux I. , Márki L. , Mátrai M. , Nagy Klára , Pelikán J. , Siket Aranka , Szenthe P. , Szép András , Sövényházy Mária , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1965/február,
69 - 71. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt gömb, Tengely körüli forgatás, Szerkesztések a térben, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/február: 1304. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Azt kell megmutatnunk, hogy van belsejében olyan pont, amely mind a négy laptól egyenlő távolságra van. A belsejében és az és lapsíkoktól egyenlő távolságra levő pontok az élnél levő (belső) lapszög felezősíkján vannak (és minden pontja egyenlő távolságra van a két lapsíktól). Hasonlóan a és lapoktól egyenlő távolságra levő -beli pontok a élnél levő (belső) lapszög felezősíkjának -beli pontjai. Így -nak a -ben összefutó három lapjától egyenlő távolságra levő pontok és metszésvonalán, -en vannak. (A metszésvonal létezik, mert a két síknak van közös pontja, ti. , másrészt nem esnek egybe, mert van -nek olyan pontja, amely nincs rajta -n, ilyen pl. .) Megmutatjuk, hogy a lapsíkot a háromszög belsejében metszi. elválasztja -t -től, ezért a élt egy belső pontjában metszi, így -nek a lapsíkkal közös egyenese . Hasonlóan és közös egyenese , ahol az élnek belső pontja. Ezek szerint és egy az háromszög belsejében levő pontban metszik egymást, és az -nek pontja, mert -nek és -nek közös pontja. Végül a és lapsíkoktól egyenlő távolságban levő -beli pontok a két lap szögének felezősíkján vannak. metszi -at, mert és pontjai két oldalán vannak, így az metszéspont a szakaszon, tehát belsejében van. a -ben összefutó lapsíkok mindegyikétől ugyanakkora távolságra van, mint az lapsíktól, ennélfogva az körül sugárral írt gömb -nak mind a négy lapsíkját érinti, éspedig belülről. Ezzel az első állítást bebizonyítottuk.
II. Legyen érintési pontja a lapon , az lapon ; az utóbbit kell megszerkesztenünk. Az érintés miatt és egyenlő távolságra vannak a éltől, és a belőlük -re állított merőlegesek a élen metszik egymást. Ugyanis , mint a sík egyenese, merőleges a síkra merőlegesen álló egyenesre, ugyanígy -ra is, tehát merőleges az síkra, ez a sík metszi ki -ből az említett pontot. Ezért ha -vel együtt -ot is az síkba forgatjuk, a -ba jut, így . Legyen érintési pontja a és oldallapon , ill. ; ezek -vel együtt , ill. körül az síkba forgatva ugyancsak -ba jutnak, tehát , és . Ámde , és a -hez -ből húzott érintőszakaszok, tehát egyenlők, ezért így valóban a leforgatásokkal kapott , , pontokon áthaladó kör középpontja.
Laczkovich Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
Megjegyzés. A következő meggondolásban kissé másképpen adódik, hogy -nak a fenti forgatás utáni -helyzete azonos -gal. és , mint -hez -ből, ill. -ből húzott érintőszakaszok. Így , mert a forgatás a méreteket nem változtatja, ill. mert az oldalak páronként egyenlők. |
|