|
Feladat: |
1303. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andréka Hajnal , Bak Zsuzsanna , Belső László , Berendi Emma , Bódi Z. , Bóta K. , Bummer Gertrúd , Csörnyei Z. , Deák I. , Ferenczi Gy. , Ferenczi M. , Freud R. , Hadlaczky Éva , Halász F. , Havas J. , Hoffmann Gy. , Horányi S. , Horváth J. (Esztergom) , Huhn A. , Jahn L. , Káldor Éva , Kelemen G. , Kiss Györgyi , Kiss Katalin , Kóbor Gy. , Kövér Ákos , Laczkovich M. , Lamm P. , Lehel Cs. , Lovász L. , Márki L. , Mátrai M. , Nagy Klára , Nagy Pál Géza , Nagy Zsuzsa , Pelikán J. , rátky Gy. , Siket Aranka , Sófalvi M. , Surányi L. , Szabó M. , Szalay A. , Szemkeő Judit , Szendrődi Annamária , Szép A. , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1965/május,
204 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/február: 1303. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha bármelyik különbség , akkor a háromszög egyenlő szárú, így a másik két különbség is , és a követelménynek minden egyenlő szárú háromszög megfelel. Tegyük fel tehát, hogy egyik különbség sem . Legyen a keresett háromszög, . Messe a -ből húzott szögfelező az oldalt -ben. Ekkor ‐ a szokásos jelöléseket használva ‐ , és a szögfelező osztásarányára vonatkozó tétel szerint . Legyen , , és az adott értékkel egyenlő. Tükrözzük -t -re, a tükörkép az szakaszon keletkezik, és , másrészt az külső szöge, ezért , végül , és így . Ezek szerint ismert az oldala, a vele szemben levő szöge és a további két oldal különbsége. A háromszög-egyenlőtlenség szerint az utóbbi kisebb, mint , azaz . Rámérve még -re -ből a távolságot, , és a egyenlő szárú háromszögből .
Ezek alapján megszerkeszthető az , majd az háromszög pl. a következőképpen: Az hosszúságú szakaszra rámérjük az szöget; megszerkesztjük a külső szögének a szögfelezőjét és ennek azt a felét, amely az egyenesnek a -t tartalmazó partján van, elmetsszük az körül sugárral rajzolt körívvel -ben. felező merőlegese metszi ki -n túli meghosszabbításából -t, (ugyanis tompaszög). Az külső szögének szögfelezője (ami párhuzamos -vel) metszi ki -en túli meghosszabbításából -t, végül -nek -re vonatkozó tükörképe, ami -nek -n túli meghosszabbítására esik, a csúcs. Az elemzés lépéseit fordított sorrendben és irányban alkalmazva könnyen láthatjuk, hogy az megfelel az összes követelményeknek. Ha és , a szerkesztés mindig elvégezhető és egyértelmű.
Belső László (Budapest, XVIII., Hengersor úti g. IV. o. t.) II. megoldás (vázlat). Az I. megoldás jelöléseivel az és arányok egyenlőségéből -et levonva | | továbbá a külső szög tétele alapján | | Ezek szerint a -ben ismert két oldal aránya és egy szög, szerkeszthetünk tehát egy hozzá hasonló -et pl. úgy, hogy egy nagyságú szög ‐ az ábrán , hiszen ‐ egyik szárára felmérjük a szakaszt, másik szárát pedig -ban metsszük a körül sugárral írt körívvel. Messe a egyenesnek -re való tükörképe -ot -ban, akkor is, így az utóbbiból arányú nagyítással megkapjuk a keresett háromszöget. A bizonyítás hátra levő részét és a diszkussziót az olvasó könnyen elvégezheti.
Kövér Ákos (Debrecen, Tóth Á. g. III. o. t.)
|
|