Kezdőlap


Feladat:	1301. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Belső László , Berendi Emma , Bódi Zoltán , Bóta K. , Bulkai L. , Czina Ferenc , Dévaj Ágnes , Ferenczi György , Ferenczi Miklós , Ferenczy Gy. , Freund Róbert , Hoffer Anna , Horányi Sándor , Huhn András , Kerényi István , Kiss György , Kiss Katalin , Kóbor Gy. , Kovács András , Kulcsár Gy. , Kövér Á. , Laczkovich M. , Lehel Csaba , Lovász László , Lux Iván , Márki László , Mátrai Miklós , Mezey I. , Nagy Klára , Patkós A. , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi Miklós , Surányi László , Sükösd Csaba , Szabó M. , Szántó Ottó , Szendrő P. , Szép András , Treer Mária
Füzet:	1964/október, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Háromszögek nevezetes tételei, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 1301. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ , $c$ , úgy, hogy $a ≦ b < c$ . A feltételi egyenlőséget kifejtve, majd $c^{2}$ -nal osztva és felismerve a kisebb $α$ hegyesszög függvényeit:

\begin{matrix} a^{2} = (c - a) (b - a), \frac{b}{c} - \frac{a}{c} - \frac{a b}{c^{2}} = 0, \\ cos α - sin α - sin α cos α = 0. & (1) \end{matrix}

Szorozzuk a bal oldalt a

(cos α - sin α) + sin α cos α

kifejezéssel. Ez a

\begin{matrix} 0^{\circ} ≦ α ≦ 45^{\circ} \end{matrix}

(2)

intervallumban pozitív, mert sem a különbség, sem a szorzat nem negatív, és ahol az egyikük 0, ott a másikuk pozitív. Így az adódó

\begin{matrix} {(cos α - sin α)}^{2} - sin^{2} α cos^{2} α = 0, \\ 1 - sin 2 α - \frac{1}{4} sin^{2} 2 α = 0 & (3) \end{matrix}

egyenletnek a (2) intervallumba eső gyökei az (1)-nek is gyökei. (3)-ból

\begin{matrix} sin 2 α = - 2 \pm 2 \sqrt[]{2}, és sin 2 α = 2 (\sqrt[]{2} - 1) \approx 0, 8284, \end{matrix}

ezért

2 α ≦ 90^{\circ}

miatt az egyetlen megfelelő megoldás

2 α \approx 55, 92^{\circ}

α \approx 27, 96^{\circ}

. A másik hegyes szög ennek pótszöge. (3) negatív gyöke semmiféle szögnek nem lehet színusza.

Ferenczi György (Budapest, I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés. (1)-ből a vele nem ekvivalens (3)-at úgy is megkapjuk, ha a szorzatot a jobb oldalra visszük át, majd négyzetre emeljük az egyenletet. Így csupán a függvénytáblázatra támaszkodva mondhatjuk ki, hogy a talált gyök (1)-nek is gyöke, vagy a négyzetre emelt egyenletet 0-ra redukálva és szorzattá alakítva a fenti megoldás gondolatmenetére térünk vissza.

II. megoldás. Vegyük hosszúságegységnek a nagyobb befogót és legyen a rövidebb befogó

x

, az átfogó

y

. A követelmények szerint

\begin{matrix} y^{2} = 1 + x^{2}, x^{2} = (y - x) (1 - x), y = \frac{x}{1 - x} \end{matrix}

(mert nyilvánvalóan

1 - x \neq 0)

, ezért

y

kiküszöbölésével, rendezéssel

\begin{matrix} x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 2 x + 1 = 0. \end{matrix}

Ez szimmetrikus egyenlet.

x^{2}

-tel osztva (ami nem 0), majd a második kéttagú kifejezés helyére

z

-t írva

\begin{matrix} (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 2 (x + \frac{1}{x}) + 1 = 0, \\ (z^{2} - 2) - 2 z + 1 = 0. amiből z = 1 \pm \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A negatív gyök nyilvánvalóan nem felel meg,

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = 1 + \sqrt[]{2} -ből pedig x = \frac{1}{2} (\sqrt[]{2} + 1 \pm \sqrt[]{2 \sqrt[]{2} - 1}) . \end{matrix}

A diszkrimináns négyzetgyökét

+

jellel véve

x > 1

, ami nem megfelelő; negatívnak véve

x \approx 0, 5310

, és mivel másrészt

tg α = x

, azért

α \approx 27, 96^{\circ}

Sükösd Csaba (Budapest, József A. g. III. o. t.)