A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szabályos ötszög bármelyik két csúcsát vagy egy oldal, vagy egy átló köti össze, és mind az öt átló egyenlő; így a szakasz vagy oldala, vagy átlója az ötszögnek. Az első esetben és szomszédos csúcsok, a -vel szomszédos másik csúcs -en lesz, ebből kell kimetszenünk alkalmas körrel ‐ mert csak körzőt használhatunk ‐, az -rel szomszédos másik csúcs pedig -n lesz. A második esetben , szemben fekvő csúcsok, így a -vel szemben levő másik csúcs lesz -en, az -rel szemben levő másik csúcs pedig -n. Az első esetnél maradva kézenfekvő arra gondolni, hogy a -vel szomszédos csúcsnak -ből való kimetszését egy az körül írt további körrel végezte az eljárás elveszett befejezése. Ekkor sugara a oldalú szabályos ötszög átlója. Ugyanekkora sugarú, a körül írt kör kimetszhetné -ből az melletti csúcsot, és e két kör metszéspontja megadhatná az ötszögnek a oldallal szemben levő csúcsát, vagyis az átlót ismerve a hátra levő két lépésben befejezhetnénk a szerkesztést. Így ‐ ha feltevésünk találó ‐ az átlónak már csak a felhasználására futja a további két lépésből, tehát az átló hosszának már meg kell lennie az ábrán, annak a megrajzolása utáni fázisában ‐ éspedig a megnevezett pontok valamelyik párjának távolsága gyanánt, ‐ hiszen az első hat kör számos további metszéspontot ad, és a könyv bizonyára csak a tovább felhasználandó pontokra vezetett be betű-jelölést. Továbbmenve az átló hosszát megadó pontpár egyik tagja a révén kapott, vagy , különben ezek megszerkesztése és megjelölése felesleges volna, a szerkesztés kevesebb kör rajzolásával lenne befejezhető.
1. ábra
A szabályos ötszög átlójának és oldalának aránya az egy átló által lemetszett egyenlő szárú háromszögből . Megmutatjuk, hogy egységnek véve és távolságát, és távolságának mértékszáma éppen egyenlő ezzel az arányszámmal. és egyenlő oldalú háromszögek (1. ábra, ezen a jobb áttekintés érdekében a köröket mellőztük, és a szóba jövő távolságokat egyenesszakasszal meg is rajzoltuk), ezért , továbbá . Az négyszög rombusz, így merőlegesen felezi -et, továbbá , mivel minden paralelogrammában az átlók négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével. és egybevágó háromszögek, mert oldalaik páronként egyenlők, így , ezért rajta van a , pontokkal meghatározott egyenesen, tehát . A fentiekhez hasonlóan az idom rombusz, és merőlegesen felezi -t, tehát és rajta vannak a -vel és -szel meghatározott egyenesen, és . Mostmár , és közös felezőpontját -fel jelölve ezt akartuk bizonyítani, és ennek alapján ‐ mint láttuk ‐ a és köröket megrajzolva a hiányzó , , csúcsok kiadódnak, , , , , egy szabályos ötszög csúcsai. Hasonlóan jutunk célhoz, ha az adott -t és -et a keresett szabályos ötszög két nem szomszédos csúcsának tekintjük, és keressük az ábra berajzolása utáni fázisában az ötszög oldalának hosszát. Az oldal az átlónak része, ezt a fentiek szerint megadja és távolsága, tehát a , körök metszik ki -ből, ill. -ből, ill. egymásból az ötszög hiányzó csúcsait. Mindkét esetben két ötszöget kapunk, ezek egymás tükrös párjai a -n és -en átmenő egyenesre.
Nagy Klára (Makó, József A. g. III. o. t.)
3. ábra Megjegyzés. A szabályos ötszög átlójának és oldalának arányát szögfüggvény felhasználása nélkül is meghatározhatjuk. Legyen az háromszögben , és . Mérjük rá -t az oldalra -tól, legyen a végpont . Ekkor ; ; ; tehát ; , azaz ; , és ennek pozitív gyöke .
Felhasználjuk -nak az 1213. feladatban idézett értékét, lásd K. M. L. 27 (1963/9. 19. o.) |