|
Feladat: |
1293. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bódi Zoltán , Bóta Károly , Bulkai L. , Bummer Gertrúd , Deák István , Halász Szilvia , Horányi Sándor , Huhn A. , Jahn László , Kalmár T. , Kiss Katalin , Laczkovich Miklós , Lux I. , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Nagy László , Palócz A. , Pelikán József , Radó A. , Siket Aranka , Sükösd Csaba , Szabó Mihály , Szemkeő Judit , Szép András |
Füzet: |
1964/november,
134 - 136. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Trapézok, Pitagoraszi számhármasok, Héroni számhármasok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/január: 1293. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha egy trapéz megfelel a feladat követelményeinek, akkor egyik alapja egy-egy szárral és átlóval két olyan háromszöget alkot, amelyek oldalainak mértékszáma egész, egy oldaluk egyenlő, magasságuk , és az egyenlő oldalak mentén egymásra téve őket a közös oldallal szemben levő csúcsok távolsága is egész. Ilyen háromszögek keresése eredményes lesz összetolással, illetve részbeni fedéssel azokból a pythagorászi háromszögekből (1. ábra), amelyek egyik befogószáma . Így a magasságok talppontjainak az alap végpontjaitól mért távolságai egész számok, ezért a trapéz másik alapja is egész lesz.
1. ábra A mondott számhármasok átfogószámát -val, másik befogószámát -lel jelölve . Itt a jobb oldal tényezői egész számok, továbbá párosak. Ugyanis szorzatuk páros, ezért az egyik tényező páros, így viszont összegük, , és különbségük, , csak akkor páros, ha a másik tényező is páros. Eszerint a , , pythagorászi számhármasokat -nak két különböző páros szám szorzata gyanánt való előállításából kapjuk (ugyanis ). Hét ilyen van, lásd az I. táblázat egy-egy oszlopát.
Két-két (különböző, ill. egyenlő) l-befogó összegét és különbségét a II. táblázaton állítottuk össze, amelyen minden egyes l-értékhez egy sor és egy oszlop tartozik, az i-edik sor és a j-edik oszlop közös mezején i≤j esetén (a jobbra lejtő átlón és tőle jobbra fölfelé) az lj+li összeg áll, i>j esetén pedig (balra lefelé) az lj-li különbség. A táblázat 49 racionális háromszöget ad az m=24 magasság-számhoz. Szóba jönnek továbbá maguk a felhasznált pythagorászi háromszögek is, hiszen amennyiben létezik derékszögű a trapézek között, annak származtató háromszögei közül az egyikben az alapon derékszög van. II. l1=7, l2=10, l3=18, l4=32, l5=45, l6=70, l7=143l1=7 14 17 25 39 52 77 150l2=10 3 20 28 42 55 80 153l3=18 11 8 36 50 63 88 161l4=32 25 22 14 64 77 102 175l5=45 38 35 27 13 90 115 188l6=70 63 60 52 38 25 140 213l7=143 136 133 125 111 98 73 286
Nyilvánvaló, hogy minden lj+li(i≠j) alapú háromszögből az alap felező merőlegesén való tükrözéssel egy racionális szimmetrikus trapézt kapunk, ennek rövidebb alapja lj-li, az ilyenek száma tehát 21. Ha ugyanígy egy derékszögű háromszöget tükrözünk li felező merőlegesére, 7 racionális téglalap keletkezik. Tulajdonképpeni feladatunknak azonban a nem szimmetrikus racionális trapézok előállítását tartjuk, ezek érdekesebbek, mert száraik és átlóik különböző egész számok. Ilyen trapéz alapjai gyanánt a táblázatnak csak az ismétlődő számai szerepelhetnek, ezeket kiemeltük kövér nyomtatással.
2. ábra Két egyező alaphosszra a két Heron-háromszöget kétféleképpen helyezhetjük rá, ha egyikük sem egyenlő szárú. Pl. a egyenlőség alapján a 77 egységnyi alap l1 részének végpontjára vagy az l4, vagy az l5 rész végpontját illeszthetjük rá, és így a másik alap mértékszámán az első esetben l4-l1=l6-l5=25, a másodikban l5-l1=l6-l4=38 adódik (ezek természetesen ugyancsak ismétlődő alaphosszai a táblázatnak; 2. ábra), az egyenlőségek (1)-ből adódnak átrendezéssel. A trapéz átlóit és szárait a megfelelő számhármasok k1, k4, k5, k6 átfogószámai adják. AlapokSzárakÁtlókMagasság III.1425 2530 2540 242525 2525 3040 242538 4051 2574 242552 3051 2574 242563 2551 3074 242577 2551 4074 243877 2540 5174 245263 2530 5174 24 Hasonlóan végigmenve a táblázat összes egyező számpárjain, a III. táblázaton felsorolt 8 racionális trapézhez jutunk. A 63, 52, 38 alapszám két-két előfordulásából is 2‐2 trapéz adódik, viszont a 25-ös három előfordulása háromféleképpen állítható párba, ezekből 3⋅2=6 trapéz, a 14 alapszám előfordulásaiból pedig 1, mert a 14, 25, 25 háromszög szimmetrikus m-re. Így a fenti trapézeket mindkét alapjuk révén megkapjuk, kivéve a 2. sorbelit, amely racionális paralelogramma (rombusz).
Nagy László (Győr, Benedek-rendi Czuczor G. g. III. o. t.) Laczkovich Miklós (Budapest, Fazekas g. II. o. t.) Megjegyzések. 1. A feladat nem kívánta az m=24 magasságszámhoz tartozó összes racionális trapézek előállítását; a fentieket azért közöltük, mert különböző versenyzők más-más megoldást találtak. 2. A fentieken kívül további megoldás nincs, megmutatjuk ugyanis, hogy ha egy háromszög a, b, c oldalainak és az a oldalhoz tartozó m magasságának hossza egész szám, akkor m talppontjának az a végpontjaitól mért távolságai is egész számok. Ugyanis ezeknek vagy az összege egyenlő a-val, vagy (ha az a oldal egyik végpontjában tompaszög van) a pozitív különbsége: Ebből négyzetreemeléssel és rendezéssel egész szám, mert p, q egészek. Így ±q=r/2p és (2) alapján mindkét négyzetgyök racionális szám, ugyanis | p+r2p=2p+r2p=a,p=2p+r2a,q=a-p=r+2q2a. | Így egészek is, mert ha egy racionális szám nem egész, akkor négyzete sem az. Eszerint feltételeink mellett b, m, ab és c, m, ac pythagorászi számhármasok, a fentiekben az adott magassághoz megkaptuk az összes racionális trapézokat.
Pelikán József (Budapest, Fazekas M. g. II. o. t.)
|
|