Kezdőlap


Feladat:	1291. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóta K. , Bulkai L. , Czina Ferenc , Deák I. , Hortobágyi József , Lovász L. , Mátrai M. , Nagy Márta , Pelikán J. , Siket Aranka , Sófalvi M. , Szabó M. , Szalay M. , Szemkeő Judit , Szép András , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/január, 11 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 1291. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $A B C$ a keresett háromszög ( $A C = B C$ ). Jelöljük a körülírt kör, ill. a beírt kör sugarát $r$ -rel, ill. $ϱ$ -val, $A B$ felezőpontját $D$ -vel, a körülírt kör $C$ -vel átellenes pontját $C'$ -vel, a beírt kör érintési pontját az $A C$ száron $T$ -vel (1. ábra).

1. ábra

Kifejezhetjük az

\begin{matrix} A C = A T + C T = A D + C T \end{matrix}

(1)

összefüggésben fellépő távolságokat a

C D = m

magassággal, és így

m

-re nyerünk egyenletet.
Az

A C C'

háromszög

A

-nál derékszögű, így a befogó, továbbá a magasság mértani közép tulajdonsága szerint

\begin{matrix} A C^{2} = C C' \cdot C D = 2 r m, & (2) \\ A D^{2} = C D \cdot D C' = m (2 r - m); & (3) \end{matrix}

végül a beírt kör

C T

érintője és

C D

szelője közt a következő összefüggés áll fenn, mivel

C D

(az egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye) átmegy a kör középpontján:

\begin{matrix} C T^{2} = C D \cdot (C D - 2 ϱ) = m (m - 2 ϱ) . \end{matrix}

(4)

Ezeket (1)-be behelyettesítve

\begin{matrix} \sqrt[]{2 r m} = \sqrt[]{m (2 r - m)} + \sqrt[]{m (m - 2 ϱ)} . \end{matrix}

Egyszerűsíthetünk

\sqrt[]{m}

-mel, mert az nem lehet 0. Ezután a négyzetgyököket négyzetre emelések és átrendezések segítségével a szokott módon kiküszöbölve az

\begin{matrix} m^{2} - 2 (r + ϱ) m + ϱ (ϱ + 4 r) = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ennek csak akkor van gyöke, ha

r \geq 2 ϱ

, és ekkor gyökei:

\begin{matrix} m_{1,2} = r + ϱ \pm \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)} . \end{matrix}

Innen (2) és (3) szerint

\begin{matrix} a_{1,2} & = b_{1,2} = A C = \sqrt[]{2 r (r + ϱ \pm \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)})} és \\ c_{1,2} & = 2 A D = 2 \sqrt[]{[r + ϱ \pm \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)}] [r - ϱ \mp \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)}]} = \\ = 2 \sqrt[]{ϱ [2 r - ϱ \mp 2 \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)}]} . \end{matrix}

Itt

\begin{matrix} \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)} = \sqrt[]{r^{2} - 2 r ϱ} < r - ϱ \end{matrix}

folytán

\begin{matrix} 0 < m_{1} = r + ϱ + \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)} < 2 r és \\ 2 r > r + ϱ > m_{2} = r + ϱ - \sqrt[]{r (r - 2 ϱ)} > 2 ϱ > 0. \end{matrix}

2. ábra

r \geq 2 ϱ

, akkor mindig létezik a feltételeket kielégítő háromszög. Megszerkeszthető pl. a következő módon. Egy

r

sugarú,

K

középpontú

k

körben megszerkesztünk két egymásra merőleges

C C'

és

M N

átmérőt, utóbbira rámérjük az

M P = 2 ϱ

távolságot (2. ábra). A

P N

átmérőjű félkör

C C'

-vel való metszéspontjának

K

-tól mért távolsága

\sqrt[]{r (r - 2 ϱ)}

. Ezzel megszerkesztjük az

m_{1}

, ill.

m_{2}

távolságot és rámérjük

C

-ből a

C C'

átmérőre; a

D_{1}

, ill.

D_{2}

végpontban az átmérőre emelt merőleges metszi ki a körből a keresett háromszög

A_{1}

B_{1}

, ill.

A_{2}

B_{2}

csúcsait. Ha

r = 2 ϱ

, akkor

D_{1} = D_{2}

, és egy háromszöget kapunk, különben kettőt.
Be kell látnunk, hogy az

A_{1} B_{1} C

és

A_{2} B_{2} C

háromszögek megfelelnek a követelményeknek. Mindkettő egyenlő szárú, körülírt körének sugara

r

.
Beírt körük

ϱ'_{1}

, ill.

ϱ'_{2}

sugarát a háromszög területére vonatkozó

t = \frac{1}{2} m_{i} \cdot A_{i} B_{i} = ϱ'_{i} s_{i}

(

i = 1, 2

) képletből határozhatjuk meg, ahol

s

-sel a kerület felét jelöltük.
Mivel az

A_{i} C C'

háromszögek derékszögűek, fennállnak rájuk a (2), (3) összefüggések. Így

\begin{matrix} ϱ'_{i} & = \frac{1}{2} \frac{m_{i} \cdot A_{i} B_{i}}{s_{i}} = \frac{m_{i} \cdot A_{i} D_{i}}{A_{i} C + A_{i} D_{i}} = \\ = \frac{m_{i} \sqrt[]{m_{i} (2 r - m_{i})}}{2 r} \end{matrix}