Feladat: 1290. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deák István ,  Ferenczi György ,  Fodor L. ,  Hortobágyi József ,  Kerényi István ,  Kiss Katalin ,  Körner János ,  Kövér Ákos ,  Laczkovich M. ,  Lakatos A. ,  Lehel Csaba ,  Lovász László ,  Márki László ,  Mátrai Miklós ,  Nagy Klára ,  Pelikán József ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Sófalvi M. ,  Székely Gábor ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1964/november, 130 - 131. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Lottó, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/január: 1290. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lottóban használt 1,2,...,90 számok közül a 8-as számjegyet a tízes helyi értékben 10, az egyes helyi értékben pedig 9 szám tartalmazza: 80,81,...,89, ill. 8,18,28,...,88. A 88 mindkét csoportba beletartozik, így a 8-as jegyet tartalmazó lottószámok száma 10+9-1=18.
Legalább három 8-ast tartalmazó szám kihúzása azt jelenti, hogy az 5 kihúzott szám közül vagy 3-ban, vagy 4-ben, vagy mind az 5 számban szerepel 8-as. Az ilyen esetek N3, N4, N5 számát rendre külön állapítjuk meg.
Az első esetben a kihúzott számok közül 3 a fenti 18 közül való, a további 2 pedig a 8-ast nem tartalmazó 72 szám közül. Az előbbi 3 egymás utáni kiválasztása során az elsőt 18-féleképpen választhatjuk, minden így kiválasztott számhoz a másodikat a maradók közül 17-féleképpen csatolhatjuk, a 18⋅17 pár mindegyikéhez pedig a harmadikat 16-féleképpen. Az így adódó 18⋅17⋅16 számhármas között egy-egy hármas minden lehetséges sorrendben előfordul, a lottóhúzás eredményében viszont a számok kihúzásának sorrendje nem számít. Mivel 3 különböző elemet 3⋅2-féle sorrendbe lehet állítani (a 3 bármelyikét véve elsőnek, a másik kettőt kétféle sorrendben írhatjuk mellé), így a különböző összeállítások számát osztással kapjuk:

18⋅17⋅163⋅2.

Eddigi meggondolásainkat ismételve a 8-ast nem tartalmazó számpár különböző megválasztásainak száma, majd a most vizsgált esetbe tartozó lottóhúzások összes száma:
72⋅712,N3=18⋅17⋅163⋅2⋅72⋅712=2085696,
a 4, ill. 5 számban 8-as jegyet tartalmazó húzások száma hasonlóan:
N4=18⋅17⋅16⋅154⋅3⋅2⋅72=220320,ill.N5=18⋅17⋅16⋅15⋅145⋅4⋅3⋅2=8568;
végül tekintet nélkül a 8-asokra, a 90 számból végezhető 5-tagú húzások száma
N=90⋅89⋅88⋅87⋅865⋅4⋅3⋅2=43949268.

Mindezek szerint az összes lehetséges húzásoknak (N3+N4+N5)/N része olyan, hogy legalább három számában lép fel 8-as számjegy, így a 100 húzás közül átlagosan várható ilyenek száma:
100(N3+N4+N5)N=23145840043949268≈5,3,
tehát Pali óvatossága indokolt volt.
Bár a tévedés sokféleképpen adódhatott Lajcsi gyors számolásában, feltételezhetjük, hogy így gondolkodott: a 8-ast tartalmazó 3 szám megválasztása után a további 2 helyet a további 87 számból töltjük be, így az összesen, ill. a 100 közül átlagosan megfelelő húzások száma
N3*=18⋅17⋅163⋅2⋅87⋅862=3052656,ill.100N3*N≈6,9,
amint Lajcsi állította. Ez azért téves, mert többször vette számba azokat a húzásokat, amelyekben 3-nál több szám jegyei között szerepel 8-as. Ha az A, B, C, D, E különböző számokban szerepel 8-as jegy, X-ben pedig nem, akkor az A, B, C, D, X húzást a mondott N3* húzás között 4-szer vette számba Lajcsi, amint rendre A, B, C, ill. D szerepel a ,,többi 87'' szám közül választott negyedik gyanánt, az A, B, C, D, E húzást pedig 10-szer, mert a 87 közül vett 2 további szám az 5 közül 5⋅4/2-fékképpen jelölhető ki. Valóban, N3+4N4+10N5=N3*.
 
Deák István (Budapest, Vörösmarty M. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A most folyó magyar lottójáték 1964. október 30-ig lefolyt 400 húzásából 13 húzás volta fenti N3 eset közöl való és 6 az N4 közül való, viszont egy húzás sem volt az N5-ben számbavettek közül. Szembeállítva ezeket a 400 N3/N≈19, a 400 N4/N≈2 és 400 N5/N≈0,1 számokkal, a tapasztalat egyszer lefelé, egyszer fölfelé mutat eltérést, a ,,legalább 3'' kérdésében pedig 2 a hiány a várható 4⋅5,3≈21-gyel szemben, ami ‐ a 400 tagú sorozat rövid voltát tekintve ‐ jó egyezés.