Feladat: 1289. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bóta Károly ,  Bulkai L. ,  Deák István ,  Dévaj Ágnes ,  Eőry L. ,  Halász F. ,  Hoffmann Gy. ,  Hortobágyi József ,  Huhn A. ,  Jahn András ,  Kalmár T. ,  Kerényi István ,  Keresszegi Hajnalka ,  Külvári István ,  Kövér Ákos ,  Laczkovich M. ,  Lovász László ,  Lux Iván ,  Mátrai Miklós ,  Nagy I. ,  Nagy Klára ,  Nagy Pál Géza ,  Nagy Zsuzsa ,  Palócz A. ,  Pelikán József ,  Racskó P. ,  Radó A. ,  Siket Aranka ,  Simon E. ,  Simonovits András ,  Sófalvi M. ,  Szajcz M. ,  Szalay Mihály ,  Szép András ,  Sövényházy Mária ,  Tongori Éva ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1964/november, 128 - 129. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Numerikus és grafikus módszerek, Numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/január: 1289. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen az első egyenlet egy gyöke c, ez nyilván nem lehet 0. Reriprokát a második egyenlet bal oldalába helyettesítve

(1c)5+1c+1=1c5(1+c4+c5).
Ez csak úgy lehet 0, ha a második tényező 0. Ez biztosan bekövetkezik, ha kiemelhető belőle a feltétel szerint 0-val egyenlő c3-c+1 tényező; ez teljesül is:
1+c4+c5=(1-c+c3)(1+c+c2).

Mivel c az első egyenlet bármelyik gyökét jelentheti, mindegyik gyök reciproka kielégíti a második egyenletet is.
b) A valós gyök meghatározására írjuk a második egyenletet x5=-x-1 alakban. A bal oldal x növekedtével nő, a jobb oldal csökken, tehát csak egy közös értékük lehet, és egy van is, mert x=-1-re a bal oldal a kisebb, x=0-ra pedig a jobb oldal.
 
 

Az első egyenlet ígér kényelmesebb számítást, írjuk azt x3=x-1 alakban, és ábrázoljuk az f(x)=x3 és g(x)=x-1 függvényeket. A metszéspont abszcisszájára =1,3 körüli értéket olvasunk le. Behelyettesítve: f(-1,3)=-2,197, g(-1,3)=-2,3<f(-1,3), tehát a gyök ennél kisebb érték. Helyettesítve -1,35-ot:
f(-1,35)=-1,351,352<-1,351,8=-2,43<g(-1,35)=-2,35,
így a keresett gyök -1,35 és -1,3 közé esik, tehát közelítő értéke egy tizedes pontossággal -1,3.
Mostmár a második egyenlet gyöke az a) részben bebizonyított állítás szerint -1,35 és -1,3 reciproka közé esik. Az utóbbi reciproka nagyobb -0,77-nál, az előbbi reciproka kisebb -0,74-nál. Egy tizedesre kerekítve a közbülső értékek egy része -0,8-et ad, egy részük -0,7-et. Behelyettesítve -0,75=-3/4-et az x5=-x-1 alakba, a bal oldal -243/1024, a jobb -1/4, ez a kisebb, így a fentiek szerint a két oldal valamely a -3/4-nél kisebb érték esetében egyenlő, tehát kerekítve a gyök -0,8.
 
Tongori Éva (Székesfehérvár, Teleki B. g. III. o. t.)

 

Megjegyzés. Néhányan az x3-x+1=0 egyenlet valós gyökét az x3+px+q=0 egyenlet ún. Cardano-féle
x=-q2+(q2)2+(p3)313+-q2-(q2)2+(p3)213
gyökképletével határozták meg, ami ‐ ebben az esetben ‐ több számolással járt a fenti próbálgatásnál.