|
Feladat: |
1289. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bóta Károly , Bulkai L. , Deák István , Dévaj Ágnes , Eőry L. , Halász F. , Hoffmann Gy. , Hortobágyi József , Huhn A. , Jahn András , Kalmár T. , Kerényi István , Keresszegi Hajnalka , Külvári István , Kövér Ákos , Laczkovich M. , Lovász László , Lux Iván , Mátrai Miklós , Nagy I. , Nagy Klára , Nagy Pál Géza , Nagy Zsuzsa , Palócz A. , Pelikán József , Racskó P. , Radó A. , Siket Aranka , Simon E. , Simonovits András , Sófalvi M. , Szajcz M. , Szalay Mihály , Szép András , Sövényházy Mária , Tongori Éva , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1964/november,
128 - 129. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Numerikus és grafikus módszerek, Numerikus módszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/január: 1289. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen az első egyenlet egy gyöke , ez nyilván nem lehet . Reriprokát a második egyenlet bal oldalába helyettesítve Ez csak úgy lehet , ha a második tényező . Ez biztosan bekövetkezik, ha kiemelhető belőle a feltétel szerint -val egyenlő tényező; ez teljesül is: | |
Mivel az első egyenlet bármelyik gyökét jelentheti, mindegyik gyök reciproka kielégíti a második egyenletet is. b) A valós gyök meghatározására írjuk a második egyenletet alakban. A bal oldal növekedtével nő, a jobb oldal csökken, tehát csak egy közös értékük lehet, és egy van is, mert -re a bal oldal a kisebb, -ra pedig a jobb oldal.
Az első egyenlet ígér kényelmesebb számítást, írjuk azt alakban, és ábrázoljuk az és függvényeket. A metszéspont abszcisszájára körüli értéket olvasunk le. Behelyettesítve: , , tehát a gyök ennél kisebb érték. Helyettesítve -ot: | | így a keresett gyök és közé esik, tehát közelítő értéke egy tizedes pontossággal . Mostmár a második egyenlet gyöke az a) részben bebizonyított állítás szerint és reciproka közé esik. Az utóbbi reciproka nagyobb -nál, az előbbi reciproka kisebb -nál. Egy tizedesre kerekítve a közbülső értékek egy része -et ad, egy részük -et. Behelyettesítve -et az alakba, a bal oldal , a jobb , ez a kisebb, így a fentiek szerint a két oldal valamely a -nél kisebb érték esetében egyenlő, tehát kerekítve a gyök .
Tongori Éva (Székesfehérvár, Teleki B. g. III. o. t.)
Megjegyzés. Néhányan az egyenlet valós gyökét az egyenlet ún. Cardano-féle | | gyökképletével határozták meg, ami ‐ ebben az esetben ‐ több számolással járt a fenti próbálgatásnál. |
|