|
Feladat: |
1285. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bóta K. , Kiss Katalin , Lehel Cs. , Lovász L. , Márki L. , Nagy Klára , Siket Aranka |
Füzet: |
1965/május,
202 - 204. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körülírt kör, Beírt kör, Koszinusztétel alkalmazása, Körérintési szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/december: 1285. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatban állított érintkezés következik abból, ha megmutatjuk, hogy a kérdéses kör középpontjának a háromszög köré írt kör középpontjától mért távolságának és a két kör és sugara különbségének a négyzete egyenlő, tehát ; így a két kör közt belső érintkezés áll fenn. Könnyű látni, hogy csak tartalmazhatja -et, ugyanis a háromszög belső pontján átmenő egyenes az oldalak legalább egyikét belső pontban metszi, tehát a és pontok legalább egyike belsejében és határán van.
-et az háromszögből fogjuk kiszámítani koszinusz-tétellel. Fel fogjuk használni ‐ a szokásos jelölésekkel élve ‐ a összefüggést. A szög meghatározására jegyezzük meg, hogy az egyenlő szárú háromszögből , így az együttesen félkört kitevő , , íveken rendre , , nagyságú szögek nyugszanak. Ezek összege tehát , s így . Az háromszögből . Így
Ebből levonva -t:
A zárójelben a kivonandó (1) szerint . A kisebbítendő átalakítására fogjuk felhasználni azt, hogy az -n át -ra merőlegesen húzott egyenesen van. Legyen a beírt kör érintési pontja az oldalon . Ekkor és a szögre nézve merőleges szárú hegyes szögek, tehát nagyságúak. Így a és derékszögű háromszögekből | | A felírt különbség értéke tehát valóban , amint állítottuk. Siket Aranka (Makó, József A. g.) Lásd pl. Kürschák J.‐Hajós Gy.‐Neukomm Gy.‐Surányi J.: Matematikai versenytételek I. (3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1965) 40. o.Ha , akkor , mert , így az egyenlőség ebben az esetben is helyes. |
|