Kezdőlap


Feladat:	1283. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóta Károly , Földes Antónia , Gyenes G. , Hoffer Anna , Kiss Katalin , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Márki László , Marosi Judit , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Pelikán József , Racskó P. , Siket Aranka , Sófalvi Mihály , Székely Gábor , Szép András , Veres Ferenc
Füzet:	1964/október, 67 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Numerikus és grafikus módszerek, Feladat, Nevező gyöktelenítése
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 1283. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ $c^{2} - 1$ négyzetgyöke kisebb $c$ -nél, de nagyobb $c - 1$ -nél

\begin{matrix} c - 1 < \sqrt[]{c^{2} - 1} < c, \end{matrix}

(2)

ugyanis természetes szám négyzeténél 1-gyel kisebb szám nem teljes négyzet, kivéve

c = 1

esetét, ekkor viszont az érdektelen

\sqrt[]{0}

esetre jutunk. Ezt kizárva a

\sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1)

különbség 1-nél kisebb pozitív szám, és reciprokának egész része lesz a lánctört‐kifejtés első nevezőjének első tagja. Ez 1, ugyanis

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1)} = \frac{\sqrt[]{c^{2} - 1} + (c - 1)}{2 (c - 1)}, \end{matrix}

(3)

és itt a számláló (2) szerint nagyobb a nevezőnél, de nem éri el a nevező 2-szeresét. Ezért

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1) = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1)}{2 (c - 1)}} . \end{matrix}

A nevező második tagjának reciproka (3)-nak

2 (c - 1)

-szerese, így nagyobb, mint

2 (c - 1)

, másrészt kisebb az 1-gyel nagyobb számnál:

\begin{matrix} \frac{2 (c - 1)}{\sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1)} = \sqrt[]{c^{2} - 1} + (c - 1) < 2 c - 1, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 (c - 1) + [\sqrt[]{c^{2} - 1} - (c - 1)]}} \end{matrix}

A maradék megegyezik a bal oldallal, ezért váltakozva vég nélkül az 1 és a

2 (c - 1)

rész-nevezők ismétlődnek:

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} - 1} = (c - 1) + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 (c - 1) + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 (c - 1) + ...}}}} . \end{matrix}

(4)

A további két kifejtendő négyzetgyök

c

és

c + 1

közé esik:

\begin{matrix} c < \sqrt[]{c^{2} + 1} < c + 1, c < \sqrt[]{c^{2} + c} < \sqrt[]{c^{2} + 2 c + 1} = c + 1. \end{matrix}

(5)

Hasonló számítással kapjuk, hogy az elsőben egyetlen rész‐nevező ismétlődik:

2 c

, a másodikban ismét kettő: 2 és

2 c

, ugyanis

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} + 1} - c = \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + 1} + c} = \frac{1}{c 2 + [\sqrt[]{c^{2} + 1} - c]}, \\ \sqrt[]{c^{2} + 1} = c + \frac{1}{2 c + \frac{1}{2 c + \frac{1}{2 c + ...}}} \end{matrix}

illetőleg

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} + c} - c = \frac{1}{\frac{\sqrt[]{c^{2} + c} + c}{c}} = \frac{1}{2 + \frac{\sqrt[]{c^{2} + c} - c}{c}} = \\ = \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + c} + c}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 c + [\sqrt[]{c^{2} + c} - c]}}, \\ \sqrt[]{c^{2} + c} = c + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 c + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 c + ...}}}} . & (6) \end{matrix}

A negyedik gyökjel alatt

{(c + 1)}^{2} - 1

áll, ezért a négyzetgyök lánctört kifejtését (4)-ből kaphatjuk,

c

helyére mindenütt

c + 1

-et írva:

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} + 2 c} = c + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 c + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 c + ...}}}} . \end{matrix}

b) Az (1) alakú kifejtésben

a_{i}

gyanánt

(i = 0

, 1, 2,

...

) mindig a nagyobbat kell vennünk a közül a két szomszédos egész szám közül, amely a négyzetyököt, ill. a negatív maradéktag reciprokát közrefogja. Így (5) alapján

\begin{matrix} \sqrt[]{c^{2} + c} - (c + 1) = - [c + 1 - \sqrt[]{c^{2} + c}] = \\ = - \frac{1}{\frac{c + 1 + \sqrt[]{c^{2} + c}}{c + 1}} = - \frac{1}{2 - \frac{c + 1 - \sqrt[]{c^{2} + c}}{c + 1}}, \\ = - \frac{1}{2 - \frac{1}{c + 1 + \sqrt[]{c^{2} + c}}} = - \frac{1}{2 - \frac{1}{2 (c + 1) - [c + 1 - \sqrt[]{c^{2} + c}]}}, \\ \sqrt[]{c^{2} + c} = c + 1 - \frac{1}{2 - \frac{1}{2 (c + 1) - \frac{1}{2 - \frac{1}{2 (c + 1) - ...}}}} . & (7) \end{matrix}

Mármost (6)-ból és (7)-ből

c = 3

-mal és

c = 4

-gyel

\begin{matrix} \sqrt[]{12} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 + ...}}}}, \sqrt[]{20} = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{8 + \frac{1}{2 + \frac{1}{8 + ...}}},} \\ \sqrt[]{12} = 4 - \frac{1}{2 - \frac{1}{8 - \frac{1}{2 - \frac{1}{8 - ...}}}}, \sqrt[]{20} = 5 - \frac{1}{2 - \frac{1}{10 - \frac{1}{2 - \frac{1}{10 - ...}}}} . \end{matrix}

Négy-négy közelítő törtjük közül a páratlan sorszámúak megegyeznek, a páros sorszámúak különbözők:

\begin{matrix} \frac{7}{2}, & \frac{45}{13}, \frac{97}{28}, \frac{627}{181}, ..., és \frac{9}{2}, \frac{76}{17}, \frac{161}{36}, \frac{1364}{305}, ... \\ \frac{7}{2}, & \frac{52}{15}, \frac{97}{28}, \frac{724}{209}, ..., és \frac{9}{2}, \frac{85}{19}, \frac{161}{36}, \frac{1525}{341}, ... \end{matrix}

Sófalvi Mihály (Budapest, Bláthy O. erősáramú ip.t. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Teljes indukcióval bizonyítható, hogy az utolsó részben talált megegyezések a további közelítő törtek között is (és általában is) fennállanak minden 1-nél nagyobb

c

egész szám esetén.

Pelikán József (Budapest, Fazekas M. gyak, g. II. o. t.)

2. Többen nem keresték meg az egyes nevezőket közrefogó egész számokat, hanem bizonyos azonosságokra hivatkozva ,,gépiesen'' végezték a kifejtést. A meggondolás lényegének figyelmen kívül hagyása ez esetben is sok hibára vezetett.