Kezdőlap


Feladat:	1282. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Belső László , Bóta Károly , Csörnyei Z. , Czina Ferenc , Deák István , Ferenczi György , Földes Antónia , Gyenes Gábor , Hegedüs Aletta , Hirka A. , Huhn A. , Jahn L. , Keresszegi Hajnalka , Kiss Katalin , Kóbor Gy. , Kövér Á. , Laczkovich M. , Lehel Csaba , Lovász László , Lux I. , Márki László , Marosi Judit , Mátrai Miklós , Mayer János , Nagy István , Nagy Klára , Nagy László , Nagy Mária , Nagy Péter Tibor , Palócz A. , Patkós A. , Pelikán József , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi Mihály , Surányi László , Sükösd Csaba , Szabó M. , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szendrői Annamária , Szép András , Sörlei Zsuzsa , Veres Ferenc , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1964/szeptember, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 1282. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessünk be új változókat $x - 2$ és $y - 3$ helyére:

\begin{matrix} x - 2 = x', y - 3 = y', \end{matrix}

ezekkel (1) így alakul:

\begin{matrix} | x' + 1 | + | x' - 1 | + | y' + 1 | + | y' - 1 | = 2 + 2 \sqrt[]{2} . & (2) \end{matrix}

Ezzel elértük, hogy elég az

x' \geq 0

y' \geq 0

értékpárokkal foglalkoznunk. Ha ugyanis

x'

helyére

- x'

-t írunk, (2) önmagába megy át, csak az első két tag cserélődik fel, pl. az első tag helyére

\begin{matrix} | - x' + 1 | = | (- 1) (x' - 1) | = | x' - 1 | \end{matrix}

lép. Hasonlóan, ha

y'

helyébe írunk

- y'

-t, akkor az utolsó két tag cserélődik csak fel a bal oldalon. Ezek szerint a (2) egyenlet képe tükrös az új

X'

Y'

tengelyekre, ennélfogva (1) képe tükrös az ezekkel a régi koordinátarendszerben azonos

x = 2

, ill.

y = 3

egyenesekre.

Legyen

0 \leq x' \leq 1

. Ekkor (2) bal oldalának első két tagja, ill. maga (2) így alakul:

\begin{matrix} x' + 1 + | x' - 1 | = x' + 1 + (1 - x') = 2, \\ | y' + 1 | + | y' - 1 | = 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Itt csak y'>1-ről lehet szó, mert

0 \leq y' \leq 1

esetén a bal oldal értéke a fenti számításhoz hasonlóan 2, az egyenlet nem teljesül. Így a bal oldal értéke

2 y'

, ennélfogva

y' = \sqrt[]{2}

, és (2) képének most kapott része a

\begin{matrix} 0 \leq x' \leq 1, y' = \sqrt[]{2} \end{matrix}

egyenesszakasz (az ábrán

A B

x'

-t és

y'

-t felcserélve (2) önmagába, megy át, ezért (2) képe az

X'

Y'

tengelyek felezőjére, az

x' = y'

egyenesre is tükrös. Így (2) képéhez hozzátartozik az

A B

szakasz tükörképe, a

C D

egyenesszakasz is, amelyen levő pontok koordinátáira

0 \leq y' \leq 1

x' = \sqrt[]{2}

.
Így már csak az

x' > 1

y' > 1

értékpárok esete van hátra. Ezekkel (2) így alakul:

\begin{matrix} x + y = 1 + \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ennek képe egyenesszakasz. Maga az egyenes megrajzolható pl. az

x = 1

y = \sqrt[]{2}

és az

x = \sqrt[]{2}

y = 1

értékpárokhoz tartozó pontok kijelölésével. Az első éppen az elsőnek kapott szakasz

B

végpontja, az utóbbi pedig

D

, így (2) képe a mondott síknegyedben a három szakaszból álló, összefüggő

A B D C

törött vonaldarab.
(2) teljes képét úgy kapjuk, hogy tükrözzük előbb

A B D C

-t

X'

-re ‐ a tükörkép legyen

C D' B' A'

, ebben

C D

' a

D C

szakasz meghosszabbítása ‐, majd az

A B D D' B' A'

törött vonaldarabot tükrözzük

Y'

-re. A második lépésben

A

és

A'

tükörképe önmaga, és az

A B

A' B'

szakasz képe e szakaszok meghosszabbításába esik, így alakra nézve (2) és (1) képe egy négy szimmetriatengellyel bíró nyolcszög.

Keresszegi Hajnalka (Pápa, Petőfi S. g. IV. o. t.)