|
Feladat: |
1282. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Belső László , Bóta Károly , Csörnyei Z. , Czina Ferenc , Deák István , Ferenczi György , Földes Antónia , Gyenes Gábor , Hegedüs Aletta , Hirka A. , Huhn A. , Jahn L. , Keresszegi Hajnalka , Kiss Katalin , Kóbor Gy. , Kövér Á. , Laczkovich M. , Lehel Csaba , Lovász László , Lux I. , Márki László , Marosi Judit , Mátrai Miklós , Mayer János , Nagy István , Nagy Klára , Nagy László , Nagy Mária , Nagy Péter Tibor , Palócz A. , Patkós A. , Pelikán József , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi Mihály , Surányi László , Sükösd Csaba , Szabó M. , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szendrői Annamária , Szép András , Sörlei Zsuzsa , Veres Ferenc , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1964/szeptember,
24 - 25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Abszolútértékes egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/december: 1282. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vezessünk be új változókat és helyére: ezekkel (1) így alakul:
Ezzel elértük, hogy elég az , értékpárokkal foglalkoznunk. Ha ugyanis helyére -t írunk, (2) önmagába megy át, csak az első két tag cserélődik fel, pl. az első tag helyére | | lép. Hasonlóan, ha helyébe írunk -t, akkor az utolsó két tag cserélődik csak fel a bal oldalon. Ezek szerint a (2) egyenlet képe tükrös az új , tengelyekre, ennélfogva (1) képe tükrös az ezekkel a régi koordinátarendszerben azonos , ill. egyenesekre.
Legyen . Ekkor (2) bal oldalának első két tagja, ill. maga (2) így alakul:
Itt csak y'>1-ről lehet szó, mert esetén a bal oldal értéke a fenti számításhoz hasonlóan 2, az egyenlet nem teljesül. Így a bal oldal értéke , ennélfogva , és (2) képének most kapott része a egyenesszakasz (az ábrán ). -t és -t felcserélve (2) önmagába, megy át, ezért (2) képe az , tengelyek felezőjére, az egyenesre is tükrös. Így (2) képéhez hozzátartozik az szakasz tükörképe, a egyenesszakasz is, amelyen levő pontok koordinátáira , . Így már csak az , értékpárok esete van hátra. Ezekkel (2) így alakul: Ennek képe egyenesszakasz. Maga az egyenes megrajzolható pl. az , és az , értékpárokhoz tartozó pontok kijelölésével. Az első éppen az elsőnek kapott szakasz végpontja, az utóbbi pedig , így (2) képe a mondott síknegyedben a három szakaszból álló, összefüggő törött vonaldarab. (2) teljes képét úgy kapjuk, hogy tükrözzük előbb -t -re ‐ a tükörkép legyen , ebben ' a szakasz meghosszabbítása ‐, majd az törött vonaldarabot tükrözzük -re. A második lépésben és tükörképe önmaga, és az , szakasz képe e szakaszok meghosszabbításába esik, így alakra nézve (2) és (1) képe egy négy szimmetriatengellyel bíró nyolcszög.
Keresszegi Hajnalka (Pápa, Petőfi S. g. IV. o. t.)
|
|