Feladat: 1281. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Aczél G. ,  Belső László ,  Bódi Zoltán ,  Boldizsár F. ,  Bóta Károly ,  Czina Ferenc ,  Dömötör B. ,  Ferenczi György ,  Földes Antónia ,  Horváth József ,  Huhn A. ,  Jahn L. ,  Kiss Katalin ,  Kovács Á. ,  Laczkovich M. ,  Lovász László ,  Márki László ,  Marosi Judit ,  Mezey I. ,  Nagy István (Győr) ,  Nagy Klára ,  Nagy László ,  Nagy Péter Tibor ,  Palócz A. ,  Patkós A. ,  Pelikán József ,  Racskó P. ,  Siket Aranka ,  Simon E. ,  Simonovits András ,  Surányi László ,  Sükösd Csaba ,  Szabó M. ,  Szajcz Mihály ,  Szalkai I. ,  Szép A. ,  Szlobodnyik L. ,  Sövényházy Mária ,  Veres Ferenc ,  Vesztergombi Katalin ,  Volkay J. 
Füzet: 1964/május, 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Hatványösszeg, Oszthatósági feladatok, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/december: 1281. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az adott K kifejezés szorzattá alakítható: egymás utáni tagjait négyesével zárójelbe foglalva a másodiktól kezdve minden zárójelben a megelőző zárójel 934-szerese áll

K=(93+932+933+934)+934(93+932+933+934)+...++9312n-4(93+932+933+934)==(93+932+933+934)(1+934+938+...+9312n-4).


Az első tényező osztható 100-zal, ugyanis hasonlóan
(93+932)+932(93+932)=(93+932)(1+932)=93(1+93)(1+932)==93⋅94⋅8650=93⋅2⋅47⋅50⋅173=100⋅93⋅47⋅173,


tehát az adott kifejezés is osztható 100-zal; az állítást bebizonyítottuk.
Egyszersmind azt találtuk, hogy az állítás akkor is igaz, ha utolsó tag gyanánt 934n-et vesszük. Ha tehát a feladat kérdésére a válasz igenlő, akkor a 93-as alap esetére már k=4 is megfelelő.
b) Nyilvánvaló azonban, hogy nem minden kétjegyű (természetes) számhoz mint alaphoz adható meg egy a kívánt tulajdonságú k természetes szám, hiszen a 93 helyére 10-et véve a 10+102+103+...+10kn kifejezésben bármely pozitív egész k, n számpár esetén minden tag osztható 100-zal, kivéve az első tagot, tehát a kifejezést 100-zal osztva, a maradék 10 (ez áll k=n=1 esetén is). Eszerint a kérdéses állítás nem igaz. Hasonlóan nem létezik k egyetlen páros, de 4-gyel nem osztható alaphoz sem, mert így a kifejezést 4-gyel osztva a maradék 2, így pedig nem lehet a kifejezés 100-nak többszöröse, mert akkor 4-nek is többszöröse volna; valamint az 5-tel osztható, de 25-tel nem osztható alapokhoz sem létezik k.
 
 Horváth József (Esztergom, Temesvári Perbál g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy ha (a jegyek számától függetlenül) az alapszám törzstényezős előállításában sem a 2, sem az 5 törzsszám kitevője nem 1, akkor megadható a kívánt tulajdonságú k szám. Legkisebb értéke a 2, 4, 10, 20, 50 és 100 számok valamelyike, és egy megfelelő k-értéknek minden többszöröse ugyancsak megfelelő.
 
 Vesztergombi Katalin (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)