|
Feladat: |
1280. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ajtai Miklós , Bak Zsuzsanna , Bálint L. , Bense Imre , Bódi Z. , Deák I. , Domokos Zsuzsanna , Földes Antónia , Huhn A. , Jahn L. , Laczkovich M. , Langer L. , Lovász L. , Márki L. , Mátrai M. , Nagy Klára , Nagy Péter Tibor , Pelikán József , Siket Aranka , Solti L. , Szabó M. , Székely G. , Sövényházy Mária , Veres F. |
Füzet: |
1965/január,
9 - 10. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Szabályos sokszögek által határolt testek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/november: 1280. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megpróbáljuk összeállítani egy konvex poliéder modelljét 2 négyzetlapból és szabályos ötszöglapokból, és be fogjuk látni, hogy ez nem lehetséges. Először megállapítjuk a felhasználható ötszöglapok számát. A poliéder bármelyik csúcsába összefutó lapoknak az illető csúcsnál levő szögei együttvéve nem érhetik el a -ot, különben ugyanis a poliéder nem lenne konvex. Ezért minden csúcsban csak 3‐3 lap futhat össze, mert a szabályos ötszög egy szöge , tompaszög, és így 4 lapot tartalmazó csúcsban a szögek összege nagyobb volna négy derékszögnél. Legyen az ötszöglapok száma . Így a modell céljára előkészített, különálló lapokon az oldalak és a csúcsok száma egyaranánt , és ezek összeállítva élt és csúcsot adnak, mert a poliéder minden élét két lap 1‐1 oldala alkotja, és minden csúcsában 3 lapcsúcs egyesül. Így az 1216., ill. az 1175. feladatból ismert EULER‐féle poliédertételt felhasználva, amely szerint konvex poliéderen a lapok és a csúcsok számának összege 2-vel nagyobb az élek számánál: ugyanis a lapok száma . Innen , tehát ha létezik a kérdéses poliéder, akkor ötszöglapjainak száma 8. Ezzel azt is kaptuk, hogy a poliéder csúcsainak száma csak 16 lehet. Közülük legfeljebb 8-ba futhat be négyzetcsúcs, van tehát olyan csúcs, amelyben mind a három lap szabályos ötszög. Nevezzük az ilyeneket -típusú csúcsoknak, és kezdjük az összeállítást egy ilyennel. Könnyű belátni, hogy -típusú csúcs szomszédos csúcsai ugyancsak ‐típusúak. Legyen ugyanis a poliéder egy olyan éle, melyet két ötszöglap alkot (1. ábra I. és II.).
1. ábra E két lap alakzata szimmetrikus az él felező merőleges síkjára (a lapok közti szög bármely értéke mellett). Ha tehát az csúcsban a harmadik lap szabályos ötszög, vagyis a , élek közti szög , akkor ugyanekkora a , élek közti szög is, tehát a -beli harmadik lap is szabályos ötszög, a csúcs ‐típusú, amint állítottuk. Így pedig ‐típusú lesz a poliédernek az I. ötszög csúcsából adódó csúcsa, majd a -ből adódó is, és -be a harmadik ötszöglapot beillesztve -ben is 3 ötszöglap fut össze. E 6 ötszöglap alakzatán (2. ábra) további 5 olyan csúcs van, amelyben már 2 lap fut össze, mindegyikük szomszédos a modell egy már elkészült csúcsával, tehát csak ‐típusúvá egészíthető ki.
2. ábra Eszerint az összeállítás egyedül lehetségesnek talált folytatásához egyrészt a megengedettnél több ötszöglapra lenne szükség, másrészt nem nyílik lehetőség az előírt 2 négyzetlap beillesztésére. Így a kérdéses poliéder valóban nem létezik.
Pelikán József(Budapest, Fazekas M. Gyak. G. II. o. t.)
Megjegyzés. Kissé másképpen jutunk ellentmondásra az összeállításban a következő úton. A két négyzetnek csak 2 közös csúcsa lehet, kellene tehát lennie olyan csúcsnak, amelyben 1 négyzet és 2 ötszög fut össze (‐típusú csúcs), legyen ilyen a 3. ábra csúcsa, ahol derékszög.
3. ábra Ekkor viszont a szimmetria miatt is ‐típusú csúcs, derékszög, az I. ötszöghöz a élen is négyzet csatlakozik, ezért a -n ismét csak ötszög, -n ismét csak négyzet, végül -n ismét csak ötszög csatlakozhat, holott abból indultunk ki, hogy itt négyzet csatlakozik. Bense Imre (Esztergom, Temesvári P. G. IV. o. t.)
2. Az sem lehetséges, hogy a poliéder egy csúcsában 2 négyzet és 1 szabályos ötszög fusson össze (‐típusú csúcs), mert így az ötszög síkja merőleges a négyzetek közös élére, ugyanígy az ezen él másik végpontjában csatlakozó ötszöglap síkja is, tehát e két ötszöglap síkjai párhuzamosak, úgyszintén további oldalaik is páronként (4. ábra).
4. ábra Így az összeállítás csak további négyzetlapokkal folytatható, amit a feladat nem enged meg.
Ajtai Miklós (Budapest, Rákóczi F. G. IV. o. t.)
K. M. L. 27 (1963) 117. o., ill. 25 (1962) 134. o. |
|