Feladat:	1279. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh K. ,  Belső L. ,  Czina F. ,  Deák István ,  Domokos Zsuzsanna ,  Ferenczi György ,  Földes Antónia ,  Gecsey László ,  Hoffer Anna ,  Hoffmann Gy. ,  Horváth J. ,  Huhn A. ,  Jahn László ,  Kiss Katalin ,  Lamm P. ,  Lehel Csaba ,  Lovász László ,  Lux I. ,  Marosi Judit ,  Mátrai Miklós ,  Nagy István ,  Nagy Klára ,  Nagy László ,  Nagy Péter ,  Palócz A. ,  Pelikán József ,  Radó A. ,  Rejtő Lídia ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Sófalvi Mihály ,  Solti L. ,  Szabó M. ,  Szamkeő Judit ,  Szepesvári Gy. ,  Szijártó M. ,  Szlobodnyik L. ,  Treer Mária ,  Tüű Ferenc ,  Veres Ferenc ,  Vesztergombi Katalin
Füzet:	1964/szeptember, 22 - 24. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Fizikai jellegű feladatok, Tengelyes tükrözés, Eltolás, Hasábok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1279. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   Legyenek az 1. ábra helyzetében a kötél rögzítési pontjai $A$ és $D$, a ládán levő törési pontjai $B$ és $C$, ezek vetülete a kocsilapon $B_1$ $C_1$ (2. ábra). Ha a kötél a láda oldalirányú elmozdulásával meglazulna, ez azt jelentené, hogy a felső élek más $B\text{'}$, $C\text{'}$ helyzetéhez az $AB\text{'}$, $B\text{'}C\text{'}$, $C\text{'}D$ egyenesszakaszok összege kisebb volna az $AB+BC+CD$ összegnél. Ez nem állhat be a láda azon helyzetében, amelyre a mondott összeg a lehető legkisebb. (Ebből a helyzetből elmozdítva a ládát a kötél vagy megnyúlik, vagy elszakad.)     2. ábra   A kötél $BC$ szakaszának hossza bármely helyzetben ugyanakkora, elég tehát az $AB+CD$ összeget tekintenünk. Toljuk el $CD$-t úgy, hogy $C$ a $B$-be jusson, és legyen $D$ új helyzete $D\text{'}$, majd tükrözzük $BD\text{'}$-t a $B$-n átmenő vízszintes ($AD$-vel párhuzamos) $e$ egyenesre, legyen $D\text{'}$ tükörképe D''. Így az $AB+BD\text{'}\text{'}$ összeg legkisebb értékét keressük. Ez az eljárás a láda minden megengedett helyzetéből ugyanazon $D\text{'}\text{'}$ ponthoz vezet. Ugyanis $DD\text{'}$ párhuzamos $CB$-vel és ugyanakkora, így $D\text{'}$ helyzete a láda eltolásakor nem változik. Nem változik az $e$ egyenes sem, mert a $B{B}_1$ távolság állandó, így a $D\text{'}\text{'}$ pont, $D\text{'}$ tükörképe $e$-re, is mindig ugyanott lesz. Eszerint az összeg akkor a legkisebb, ha $B$ ráesik az $AD\text{'}\text{'}$ egyenesre. Ebben a helyzetben $\begin{array}{c}{\displaystyle BAD\sphericalangle =D\text{'}\text{'}B{D}_2\sphericalangle =D\text{'}B{D}_2\sphericalangle =ACD\sphericalangle \mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a kötél két szabad része egyenlő szögekkel hajlik a kocsilaphoz. Számítást csak a láda $B{B}_1=b$ és $C{C}_1=c$ méreteinek ismeretében végezhetünk. Ekkor a megjelölt helyzetre az $AB{B}_1$ és $DC{C}_1$ derékszögű háromszögek hasonlók, ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{A{B}_1}{D{C}_1}=\frac{B{B}_1}{C{C}_1}=\frac{b}{c}\mathrm{,}\frac{k-d-D{C}_1}{D{C}_1}=\frac{k-d}{D{C}_1}-1=\frac{b}{c}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle C_{1}D=\frac{c}{b-c}\left(k-d\right)\mathrm{,}A{B}_1=\frac{b}{b+c}\left(k-d\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  Hoffer Anna (Budapest, Hámán K. g. III. o. t.)   Megjegyzések. 1. Meggondolásunk csak akkor helyes, ha a kiszámított helyzetben a kötél $C$-ben ráfeszül a ládára, mert a láda keresztmetszetének $BC$ szakasza kisebb hegyes szöggel hajlik a vízszinteshez, mint az $AB$ és $DC$ kötélrészek (mint az $AD\text{'}\text{'}$ szakasz). Ebből a következő feltétel adódik: $\begin{array}{c}{\displaystyle k\le \frac{2bd}{b-c}\mathrm{.}}\end{array}$ (Minden trapéz‐keresztmetszetű láda csak a $2bd/\left(b-c\right)=k_0$ ,,veszélyes'' méretet meg nem haladó szélességű kocsin köthető le a vizsgált módon. Az ellentétes esetben a lekötéshez szükséges kötél hossza akkor minimális, ha $B{B}_1$ a kocsilap hosszanti szimmetriatengelye fölé kerül.   Nagy László (Győr, Benedek-rendi Czuczor G. g. III. o. t.)   2. Más kérdés, hogy a kocsi stabilitása megengedi-e a láda erős oldalratolását, ha $b$ lényegesen nagyobb $c$-nél, ill. a $k\ge k_0$ esetben.