Kezdőlap


Feladat:	1277. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Belső László , Bóta Károly , Bummer Gertrúd , Császár Z. , Deák István , Földes Antónia , Gábor J. , Hirka A. , Hoffer Anna , Horányi J. , Hortobágyi József , Huhn András , Kiss Katalin , Komor Tamás , Körner János , Lamm P. , Lehel Csaba , Lovász László , Lukács Lídia , Márki László , Marosi Judit , Mátrai Miklós , Patkós A. , Pelikán József , Pomozi István , Prónyai G. , Racskó P. , Rejtő Lídia , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi M. , Surányi László , Szalkai István , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Uray Sz. , Veres Ferenc , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1964/május, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1277. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $x$ , $y$ , $z$ , $u$ egész számok ‐ amelyek között van $0$ -tól különböző is ‐, kielégítik az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = u^{2} \end{matrix}

(1)

egyenletet, és keressük az olyan

0

-tól különböző

d

egész számokat, amelyekkel teljesül

\begin{matrix} {(x + d)}^{2} + {(y + d)}^{2} + {(z + d)}^{2} = {(u + d)}^{2} . \end{matrix}

(2)

Innen a feltevések figyelembevételével

\begin{matrix} d = u - x - y - z, \end{matrix}

(3)

feltéve, hogy ez az (egész) szám

0

-tól különböző. Eszerint általában van ilyen szám, éspedig általában több is, mert (1) egy megoldása helyébe a negatívját véve is megoldást kapunk, és ez a változtatás (3)-ban újabb

d

értékre vezet, amennyiben nem

0

-t ad.
Az adott egyenlőség szerint

x = y = 0

z = \pm 1

, és

u = \pm 1

. Az előjeleket variálva (3)-ból a

z = u

esetekben az érdektelen

d = 0

-t kapjuk, a

z = - u = 1

esetben

d = - 2

-t,

z = - u = - 1

esetén pedig

d = 2

-t, azonban a (2) számára így adódó

\begin{matrix} - 2, - 2, - 1, - 3 és 2, 2, 1, 3 \end{matrix}

új megoldások nem lényegesen különbözők. A 806. gyakorlat egyenletéhez hasonlóan általában is (2) egy talált megoldásának negatívját kapjuk, ha

x

y

z

u

mindegyike helyett a

(- 1)

-szeresét vesszük, ‐ ezért

u

-t nem vesszük negatívnak. A

2

2

1

3

megoldás előjel variációi közül elég az első két szám

2

- 2

, és

- 2

2

választásának csak az egyikét venni, pl. az elsőt, mert a másik nem ad újabb

d

értéket. Az így maradó

6

variáció közül az első a kiindulási megoldásra vezet vissza, a másodikban

d = 0

, a harmadikban egy

0

tag lép fel, az utolsó három viszont egy-egy új megoldást ad:

\begin{matrix} \begin{matrix} x \end{matrix} \end{matrix}

Valóban

\begin{matrix} 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7^{2}, 4^{2} + 4^{2} + 7^{2} = 9^{2}, 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 11^{2} . \end{matrix}

Pomozi István (Szentendre, Móricz Zs. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Néhány dolgozat megkereste (1) bal oldalán csak

2

tagot növelve az

{(x + d)}^{2} + {(y + d)}^{2} + z^{2} = {(u + d)}^{2}

egyenletből adódó megoldásokat is. Hosszabb számítással a fentieken és a 806. gyakorlat

^{*}

^{$^{*}$} egy

0

taggal kiegészített megoldásain felül a következőket kapták:

\begin{matrix} 1^{2} + 4^{2} + 8^{2} = 9^{2}, & 1^{2} + 12^{2} + 12^{2} = 17^{2}, \\ 3^{2} + 14^{2} + 18^{2} = 23^{2}, & 4^{2} + 13^{2} + 16^{2} = 21^{2} . \end{matrix}

2. Az

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = y^{2}

egyenlet egész megoldásaiból

{(x_{1} + d)}^{2} + ... + {(x_{n} + d)}^{2} = {(y + d)}^{2}

alakú megoldásokat keresve hasonlóan

\begin{matrix} d = \frac{2}{n - 1} (y - x_{1} - x_{2} - ... - x_{n}), \end{matrix}

ami általában nem egész, de racionális szám. Eszerint a hasonlóan képezett új racionális megoldásokat

n - 1

-gyel szorozva új, egész megoldásokat kapunk.
Deák István (Budapest, Vörösmarty M. g. IV. o. t.)

^{$^{*}$}1963/9 24‐25. old.