Kezdőlap


Feladat:	1275. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Zoltán , Szántó Ottó
Füzet:	1964/szeptember, 20 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1275. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Helyettesítsük be $K$ -ba $d$ helyére az adott kifejezést. Ehhez

\begin{matrix} d^{2} & = {(a + b - c)}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 (a + b) c + c^{2} = \\ = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a b + a c + b c) . & (1) \end{matrix}

azaz háromtagú kifejezés négyzetét megkapjuk, ha a tagok négyzetösszegéhez hozzáadjuk a tagok minden lehetséges párosításával képezett két‐tényezős szorzatok összegének 2-szeresét. ‐ (1) felhasználásával átalakítjuk

K

ama 4 tagjának

K_{1}

összegét, amelyekben

d

legalább második hatványon szerepel:

\begin{matrix} K_{1} = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) d^{2} - d^{4} = d^{2} [2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - d^{2}] = \\ = [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a b + a c + b c)] [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \\ - 2 (a b + a c + b c)] = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 4 {(a b + a c + b c)}^{2} . \end{matrix}

Alkalmazzuk e két négyzetre fenti megállapításunkat, (1)-ben

a

b

c

helyére előbb rendre

a^{2}

-et,

b^{2}

-et,

c^{2}

-et, majd

a b

-t,

a c

-t,

b c

-t írva:

\begin{matrix} K_{1} = (a^{4} + b^{4} + c^{4}) - 2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - \\ - 4 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - 8 (a^{2} b c + b^{2} a c + c^{2} a b) . \end{matrix}

Az utolsó zárójelben kiemelés után

a + b + c

helyére

d

-t visszaírva

\begin{matrix} K_{1} = (a^{4} + b^{4} + c^{4}) - 2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - 8 a b c d . \end{matrix}

Hozzáadva ehhez

K

további tagjait, a kívánt esetre

K = 0

adódik.

a

-t,

b

-t és

c

-t állandóknak,

d

-t változónak tekintve

K

d

-nek negyedfokú polinomja, másrészt eredményünk szerint

d = a + b + c

e polinom 0-helye. Így

K

felírható a

\begin{matrix} d - a - b - c \end{matrix}

(2)

gyöktényezőnek és

d

egy harmadfokú polinomjának szorzataként.¹

a

-t,

b

-t,

c

-t is változóknak tekintve

K

a négy változónak ún. szimmetrikus polinomja, vagyis pl. minden

a

helyére

b

-t, minden

b

helyére

c

-t, minden

c

helyére

d

-t és minden

d

helyére

a

-t írva önmagába megy át. Eszerint tekinthetjük

K

-t csak

a

, csak

b

vagy csak

c

polinomjának, és az

\begin{matrix} a = b + c + d, b = c + d + a, c = d + a + b \end{matrix}

helyettesítésekkel ugyancsak

K = 0

adódik. Így

K

további 3 módon írható szorzat gyanánt, egyik tényezőnek sorra az

\begin{matrix} a - b - c - d, b - c - d - a, c - d - a - b \end{matrix}

(3)

kifejezést véve.
Az

a = b + c + d

esetben a (2) tényező

- 2 (b + c)

, nem 0, hacsak

b + c \neq 0

, így a (2) kiemelése után maradó tényező lesz 0, tehát abból emelhető ki a (3) alatti első tényező. Hasonlóan haladva tovább, látható, hogy

K

keresett szorzat alakjában mind a négy tényező fellép. Ezeken kívül már csak egy

a

b

c

d

-től független, állandó

λ

tényező szerepelhet a szorzatban, mert a (2) és (3) tényezők szorzata negyedfokú, és

K

is negyedfokú, tehát

\begin{matrix} K = λ (d - a - b - c) (a - b - c - d) (b - c - d - a) (c - d - a - b) . \end{matrix}

(4)

Helyettesítsünk

λ

meghatározása céljára a kifejezés eredeti és új alakjában egy határozott

a

b

c

d

értékrendszert, legyen pl.

a = b = c = d = 1

. Ekkor a

16 = λ {(- 2)}^{4}

egyenlőségből

λ = 1

.
Tetszetősebb (4)-et így írni:

\begin{matrix} K = (b + c + d - a) (a + c + d - b) (a + b + d - c) (a + b + c - d), \end{matrix}

(5)

vagy

\begin{matrix} a + b + c + d = 2 s \end{matrix}

jelöléssel, amikor pl. az első tényező

2 s - 2 a = 2 (s - a)

alakban írható:

\begin{matrix} K = 16 (s - a) (s - b) (s - c) (s - d) . \end{matrix}

(6)

Szántó Ottó (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. III. o. t.)

Megjegyzések. 1.

K

szorzat‐alakjához abból is eljuthatunk, ha észrevesszük, hogy

K

negatívjának több tagja megegyezik

\begin{matrix} {(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})}^{2} \end{matrix}

kifejtésével, és hogy az utóbbiból

(- K)

-t kivonva ugyancsak teljes négyzet adódik:

\begin{matrix} {(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})}^{2} + K = 4 a^{2} b^{2} + 4 c^{2} d^{2} + 8 b c d = {(2 a b + 2 c d)}^{2} . \end{matrix}

Eszerint

K

, mint két négyzet különbsége, szorzattá alakítható. Az alapok összege és különbsége ismét két‐két négyzet különbségeként írható:

\begin{matrix} 2 a b + 2 c d + a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} = {(a + b)}^{2} - {(c + d)}^{2} = \\ = (a + b + c - d) (a + b - c + d), \\ 2 a b + 2 c d - a^{2} - b^{2} + c^{2} + d^{2} = {(c + d)}^{2} - {(a - b)}^{2} = \\ = (c + d + a - b) (c + d - a + b), \end{matrix}

így közvetlenül kapjuk (5)-öt.

Csörnyei Zoltán (Veszprém, Lovassy L. g. IV. o. t.)

2. A vizsgált kifejezés szerepelt az 1145. feladatban², mint az

a

b

c

d

oldalakkal körülhatárolható legnagyobb területű négyszög területe négyzetének 16-szorosa:

K = 16 t_{max}^{2}

. Azt is láttuk, hogy ha az

a

b

c

d

oldalakból lehet négyszöget szerkeszteni, akkor a legnagyobb területű négyszög húrnégyszög. Így ennek

t

területe

\begin{matrix} t = \sqrt[]{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}, \end{matrix}

ahol

s = (a + b + c + d) / 2

¹Lásd pl. Surányi János: Polinomok azonossága, K. M. L. 23 (1961/11) 103‐105. o.

²K. M. L. 25 (1962/11) 107. o.