Kezdőlap


Feladat:	1274. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Havas János , Solti László
Füzet:	1964/május, 207 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Lottó, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1274. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) Az első kérdés esetében az öt kihúzott szám közül a legnagyobbik és legkisebbik különbsége a szomszédos számok $d$ differenciájának $4$ -szerese. Másrészt a kihúzható számok közti legnagyobb különbség $90 - 1 = 89$ , $d$ egész szám, ezért legnagyobb lehetséges értéke a $89 : 4$ hányados egész része, $22$ , és $1$ -től $22$ -ig minden érték felléphet $d$ gyanánt.
Egy adott $d$ érték mellett, a sorozat első tagját $a$ -val jelölve, teljesülnie kell az $a + 4 d \leq 90$ egyenlőtlenségnek, vagyis $1$ -től $90 - 4 d$ -ig minden érték felléphet $a$ gyanánt, és csak ezek; számuk $90 - 4 d$ . Mivel ( $d$ és a $a$ kihúzott öt számot meghatározza, azért minden lehetséges $d$ érték mellett a feltételezett megfelelő lottóhúzások száma is $90 - 4 d$ .
Eszerint a $90 - 4 d$ számoknak az összegét kell megállapítanunk $d = 1, 2, ... 22$ esetére, vagyis az

\begin{matrix} N_{5} = 86 + 82 + ... + 2 \end{matrix}

összeget. Ez számtani sor, az összeg-képlettel

N_{5} = 968

.
b) Hasonlóan állapíthatjuk meg az

1, 2, ..., 90

számokból összeállítható négy tagú számtani sorozatok számát:

d

lehetséges értékei

1, 2, ..., 29

, minden egyes

d

érték mellett

a

értékeinek, egyszersmind a sorozatoknak a száma

90 - 3 d

, és ezek összege

\begin{matrix} 87 + 84 + ... + 3 = 1305. \end{matrix}

A hátra levő ötödik számot minden esetben

86

-féleképpen választhatjuk, mert mindig ennyi szám van még a lottógömbben. Az így adódó

1305 \cdot 86 = 112 230

húzási lehetőség azonban nem mind különböző. Ha ugyanis a hozzácsatolt szám éppen

d

-vel nagyobb a négytagú sorozat legnagyobb számánál, akkor egy az a) részben vizsgált húzási lehetőséggel állunk szemben, és ezt megkaphatjuk úgy is, hogy a sorozat legnagyobb négy tagjából álló sorozatot egészítjük ki a legkisebb tagnál

d

-vel kisebb számmal. Így a megállapított számban az a) részben vizsgált húzások kétszer szerepelnek, ezért

\begin{matrix} N_{4} = 112 230 - 968 = 111 262 \end{matrix}

olyan lottóhúzás lehetséges, amelyben valamelyik négy szám számtani sorozatot alkot, az ötödik szám pedig tetszés szerinti.

Solti László (Budapest, Fürst S. g. IV. o. t.)

II. megoldás a feladat a) részére. Megállapíthatjuk a kérdéses húzások számát legkisebb számuk szerinti csoportosításban is. Egy adott

a

érték mellett

a + 4 d \leq 90

alapján

d

1-től kezdve minden olyan egész értéket felvehet, amelyre

\begin{matrix} d \leq \frac{90 - a}{4}, \end{matrix}

vagyis

d

legnagyobb lehetséges értéke, egyszersmind az

a

kezdőszámú húzások száma

\begin{matrix} [\frac{90 - a}{4}], \end{matrix}

ahol a szögletes zárójel a belefoglalt szám egész részét jelöli. A szóba jövő

a = 1, 2, ..., 86

értékek mellett az összeg

\begin{matrix} 22 + 22 + 21 + 21 + 21 + 21 + 20 + ... + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = \\ = 2 \cdot 22 + 4 (21 + 20 + ... + 2 + 1) = 44 + 2 \cdot 22 \cdot 21 = 968, \end{matrix}

ugyanis az összegben a

21, 20, ..., 2, 1

számok mindegyike

4

-szer lép fel, amíg a

90 - a

szám

4

-gyel való osztásának maradéka rendre a

3

2

1

0

értékeket veszi fel.

Havas János (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Voltak, akik a b) részt félreértették vagy úgy, hogy csak azokat a húzásokat tekintették, amelyekben a négy legkisebb vagy négy legnagyobb szám növekszik ugyanannyival, vagy úgy, hogy kizárták az a) részben tárgyalt húzásokat. Megoldásukat elfogadtuk, ha a maguk elé tűzött feladatot helyesen oldották meg, bár a feladat szövege egyik korlátozást sem tartalmazza.
2. Könnyű kiszámítani, hogy az összes lehetséges lottóhúzások száma

43 949 268

. Eszerint öt tagú számtani sorozatot mutató lottóhúzás átlagosan kb.

45 400

húzásonként egyszer várható, legalább négy tagú sorozat pedig átlagosan nem egészen

400

húzásonként egyszer. Így a most folyamatban levő magyar lottójátékban nem egészen

900

évenként, ill.

8

évenként egy esetben várható ilyen húzás.
Megemlítjük, hogy a magyar lottójáték 1964. április végéig lefolyt 373 húzásában egyszer előfordult négy tagú sorozat: 1957. szept. 6-án a 39, 74, 76, 78, 80 számokat húzták ki.